Найти область значений функции 5 минус квадрат x

Обозначим данную функцию как \( f(x) = 5 - x^2 \).

Чтобы найти область значений этой функции, необходимо определить, какие значения может принимать \( f(x) \) при различных значениях \( x \).

Функция \( f(x) \) является параболой, которая открыта вниз (так как у нее отрицательный коэффициент при \( x^2 \)). Вершина параболы будет в точке максимума.

Для нахождения вершины параболы (максимального значения функции), мы можем использовать формулу для absciss вершины параболы, заданной уравнением \( ax^2 + bx + c \): \[ x = -\frac{b}{2a} \] В данном случае \( a = -1 \) и \( b = 0 \), следовательно: \[ x = -\frac{0}{2(-1)} = 0 \]

Теперь подставим значение \( x = 0 \) в функцию, чтобы найти максимальное значение: \[ f(0) = 5 - 0^2 = 5 \]

При \( x \) стремящемся к бесконечности (положительной или отрицательной) функция \( f(x) = 5 - x^2 \) будет стремиться к отрицательной бесконечности.

Таким образом, максимальное значение функции равно 5, а минимальное — \( -\infty \).

Следовательно, область значений функции \( f(x) = 5 - x^2 \) равна: \[ (-\infty, 5] \]