Найти область значений функции 5 минус квадрат x

Рассмотрим функцию \( f(x) = 5 - x^2 \).

Чтобы найти область значений этой функции, сначала определим, как изменяется её значение в зависимости от \( x \).

1. Функция \( -x^2 \) имеет параболическую форму, обращённую вниз, что означает, что её значения будут максимальными в одной точке и убывать по мере удаления от этой точки.

2. Находим максимум функции. Парабола достигает своего максимума в вершине, координаты которой находятся по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \) для квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \). Здесь \( a = -1 \) и \( b = 0 \), поэтому: \[ x = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0. \]

3. Подставим \( x = 0 \) в функцию: \[ f(0) = 5 - (0)^2 = 5. \]

4. Теперь посмотрим, как функция ведёт себя при больших и малых значениях \( x \):

   • При \( x \to +\infty \) или \( x \to -\infty \) \( f(x) = 5 - x^2 \to -\infty \).

Таким образом, максимальное значение функции равно 5, а минимальное значение стремится к \( -\infty \).

Итак, область значений функции \( f(x) = 5 - x^2 \) равна: \[ (-\infty, 5]. \]