(12^(n+4)*5^(n+2))/(4^(n+1)*15^2+2) сократить дробь

Чтобы сократить дробь \(\frac{12^{(n+4)} \cdot 5^{(n+2)}}{4^{(n+1)} \cdot 15^2 + 2}\), начнем с упрощения числителя и знаменателя.

Числитель: \[ 12^{(n+4)} \cdot 5^{(n+2)} \] Можно выразить 12 через простые множители: \[ 12 = 2^2 \cdot 3 \] Таким образом, \[ 12^{(n+4)} = (2^2 \cdot 3)^{(n+4)} = 2^{2(n+4)} \cdot 3^{(n+4)} = 2^{2n+8} \cdot 3^{n+4} \] Следовательно, числитель можно записать как: \[ 2^{2n+8} \cdot 3^{n+4} \cdot 5^{(n+2)} \]

Знаменатель: \[ 4^{(n+1)} \cdot 15^2 + 2 \] Сначала упростим \(4^{(n+1)}\): \[ 4 = 2^2 \Rightarrow 4^{(n+1)} = (2^2)^{(n+1)} = 2^{2(n+1)} = 2^{2n+2} \] Теперь разберемся с \(15^2\): \[ 15 = 3 \cdot 5 \Rightarrow 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \] Таким образом, можем записать: \[ 15^2 = 9 \cdot 25 = 225 \] Теперь, подставив все в знаменатель: \[ 4^{(n+1)} \cdot 15^2 = 2^{2n+2} \cdot 225 + 2 \]

Теперь, чтобы упростить дробь полностью, попробуем вынести общий множитель из знаменателя, если это возможно.

Общий множитель в \(2\) может быть вынесен из \(225\) и \(2\): \[ 2^{2n+2} \cdot 225 + 2 = 2 \cdot (2^{2n+1} \cdot 225 + 1) \]

Теперь можем записать дробь в следующем виде: \[ \frac{2^{2n+8} \cdot 3^{n+4} \cdot 5^{(n+2)}}{2 \cdot (2^{2n+1} \cdot 225 + 1)} \]

Сократив на \(2\): \[ \frac{2^{2n+7} \cdot 3^{n+4} \cdot 5^{(n+2)}}{2^{2n+1} \cdot 225 + 1} \]

Теперь дробь не может быть упрощена дальше, поскольку числитель и знаменатель больше не имеют общих множителей. Таким образом, окончательно упрощённая форма дроби: \[ \frac{2^{2n+7} \cdot 3^{n+4} \cdot 5^{(n+2)}}{2^{2n+1} \cdot 225 + 1} \]