Периметр основания правильной четырехугольной пирамиды равен 32, боковое ребро -5. найдите площадь полной поверхности пирамиды (сумму площадей всех граней)
Для решения задачи находим площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды.
Параметры пирамиды:
- Периметр основания: \( P = 32 \)
- Боковое ребро: \( a = 5 \)
Найдём стороны основания: Для правильной четырехугольной пирамиды основание является квадратом. Так как периметр квадрата определяется как \( P = 4s \), где \( s \) — длина стороны, мы можем найти сторону основания: \[ 4s = 32 \implies s = \frac{32}{4} = 8 \]
Площадь основания: Площадь основания \( S_основания \) будет равна квадрату длины стороны: \[ S_основания = s^2 = 8^2 = 64 \]
Высота боковой грани: Каждая боковая грань пирамиды является равнобедренным треугольником, где основание — это сторона квадрата, а боковое ребро — это боковая сторона. Для нахождения высоты бокового треугольника используем теорему Пифагора.
Высота бокового треугольника \( h \) может быть найдена из треугольника, где:
- одна катета — половина стороны квадрата: \( \frac{s}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
- гипотенуза — это боковое ребро, равное 5.
По теореме Пифагора: \[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{s}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \]
Площадь боковой грани: Площадь одного бокового треугольника: \[ S_{бокового\ треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12 \]
Поскольку таких боковых граней 4, общая площадь боковых граней: \[ S_{боковых\ граней} = 4 \times S_{бокового\ треугольника} = 4 \times 12 = 48 \]
Полная площадь поверхности пирамиды: Суммируем площадь основания и боковых граней: \[ S_{полная} = S_{основания} + S_{боковых\ граней} = 64 + 48 = 112 \]
Таким образом, площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна \( 112 \) квадратных единиц.
