Какая цифра стоит на  105-м месте после запятой в дроби  0,8(293)

Для решения этой задачи сначала запишем дробь в удобном виде. Дробь \(0,8(293)\) означает, что после цифры 8 идет периодическая часть, равная 293. То есть, дробь можно представить как:

\[ 0,8293293293\ldots \]

Теперь определим, сколько цифр содержится в периодической части. В этом случае периодическая часть "293" состоит из 3 цифр.

Перед началом периода у нас есть одна цифра (8), поэтому:

• Первая цифра после запятой: 8
• Вторая цифра после запятой: 2
• Третья цифра после запятой: 9
• Четвертая цифра после запятой: 3
• Пятая цифра после запятой: 2
• Шестая цифра после запятой: 9
• Седьмая цифра после запятой: 3
• И так далее...

Теперь обратим внимание на позицию 105. Учитываем, что после первой цифры (8) идут 2 (вторая) и 9 (третья), а затем начинается период 293, который продолжается через каждые 3 цифры:

• 1-я цифра: 8
• 2-я цифра: 2
• 3-я цифра: 9
• Далее повторяется: 3, 2, 9

Теперь, после первых трех цифр, у нас окажется:

• 4-я цифра: 3
• 5-я цифра: 2
• 6-я цифра: 9
• 7-я цифра: 3
• 8-я цифра: 2
• 9-я цифра: 9
• 10-я цифра: 3
• И так далее...

Период 293 занимает каждую третью позицию. Чтобы посчитать, на какой позиции будет цифра 105, вычтем 1, так как мы начинаем с цифры до первой позиции:

\[ 105 - 1 = 104 \]

Теперь делим 104 на 3, чтобы определить, где в периоде находиться требуемая цифра:

\[ 104 \div 3 = 34 \quad \text{(целая часть)} \] \[ 104 \mod 3 = 2 \quad \text{(остаток)} \]

Остаток 2 означает, что мы находимся на второй цифре периодической части "293". Цифры периода "293":

• 1: 2
• 2: 9
• 3: 3

Отсюда следует, что 105-я цифра после запятой в дроби \(0,8(293)\) равна 9.