Задание. Если игрок выигрывает партию, то он зарабатывает 1 балл, если проигрывает – -1 балл, а в случае ничьей – 0 баллов. Ксюша выигрывает с вероятностью 0,7, а проигрывает с вероятностью 0,1. Постройте ряд распределения и вычислите математическое ожидание, числа очков, которые может набрать Ксюша в двух партиях

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Сначала определим вероятности выигрыша, проигрыша и ничьей для Ксюши:

1. Вероятность выигрыша (W) = 0,7
2. Вероятность проигрыша (L) = 0,1
3. Вероятность ничьей (D) = 1 - (W + L) = 1 - (0,7 + 0,1) = 0,2

Теперь определим, какие баллы может получить Ксюша в одной партии:

• За победу (W) – 1 балл
• За проигрыш (L) – -1 балл
• За ничью (D) – 0 баллов

Теперь давайте построим ряд распределения возможных исходов для двух партий. Мы рассмотрим все возможные комбинации результатов двух партий.

1. Выигрывает обе партии (WW): \(1 + 1 = 2\) балла, с вероятностью \(0,7 \times 0,7 = 0,49\)
2. Выигрывает первую партию и играет вничью (WD): \(1 + 0 = 1\) балл, с вероятностью \(0,7 \times 0,2 = 0,14\)
3. Выигрывает первую партию и проигрывает вторую (WL): \(1 - 1 = 0\) баллов, с вероятностью \(0,7 \times 0,1 = 0,07\)
4. Играет в ничью в первой партии и выигрывает во второй (DW): \(0 + 1 = 1\) балл, с вероятностью \(0,2 \times 0,7 = 0,14\)
5. Играет в ничью в обеих партиях (DD): \(0 + 0 = 0\) баллов, с вероятностью \(0,2 \times 0,2 = 0,04\)
6. Проигрывает первую партию и выигрывает вторую (LW): \(-1 + 1 = 0\) баллов, с вероятностью \(0,1 \times 0,7 = 0,07\)
7. Проигрывает обе партии (LL): \(-1 - 1 = -2\) балла, с вероятностью \(0,1 \times 0,1 = 0,01\)
8. Проигрывает первую партию и играет вничью во второй (LD): \(-1 + 0 = -1\) балл, с вероятностью \(0,1 \times 0,2 = 0,02\)
9. Играет вничью в первой партии и проигрывает вторую (DL): \(0 - 1 = -1\) балл, с вероятностью \(0,2 \times 0,1 = 0,02\)

Теперь, пересчитаем вероятности для итоговых баллов:

• 2 балла (WW): 0,49
• 1 балл (WD, DW): 0,14 + 0,14 = 0,28
• 0 баллов (WL, DD, LW): 0,07 + 0,04 + 0,07 = 0,18
• -1 балл (LD, DL): 0,02 + 0,02 = 0,04
• -2 балла (LL): 0,01

Теперь построим окончательный ряд распределения:

• 2 балла: 0,49
• 1 балл: 0,28
• 0 баллов: 0,18
• -1 балл: 0,04
• -2 балла: 0,01

Теперь вычислим математическое ожидание:

\[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i)) \]

где \(x_i\) – количество баллов, а \(P(x_i)\) – вероятность.

Подставим значения:

\[ E(X) = 2 \times 0,49 + 1 \times 0,28 + 0 \times 0,18 + (-1) \times 0,04 + (-2) \times 0,01 \]

\[ E(X) = 0,98 + 0,28 + 0 - 0,04 - 0,02 \]

\[ E(X) = 0,98 + 0,28 - 0,06 = 1,20 \]

Таким образом, математическое ожидание числа очков, которые может набрать Ксюша в двух партиях, равно 1,20 балла.