При каких значениях переменной дробь имеет смысл : х²+1/х²-9х+14

Чтобы выяснить, при каких значениях переменной дробь \( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 9x + 14} \) имеет смысл, необходимо определить условие, при котором знаменатель дроби не равен нулю. Дробь имеет смысл, если её знаменатель не равен нулю.

1. Начнём с поиска значений, при которых знаменатель обращается в ноль. Знаменатель дроби – это \( x^2 - 9x + 14 \).

2. Найдём корни квадратного уравнения \( x^2 - 9x + 14 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25 \]

3. Корни уравнения можно найти по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставив значения, получаем: \[ x_{1,2} = \frac{9 \pm 5}{2} \] Это дает два корня: \[ x_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

4. Таким образом, дробь будет определена при любых значениях \( x \), кроме \( x = 2 \) и \( x = 7 \).

В заключение, дробь \( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 9x + 14} \) имеет смысл для всех значений \( x \), кроме \( x = 2 \) и \( x = 7 \).