Построить треугольник АВС по координатам его вершин A(3; 4), B(0; -4), С(6; 2). Найти координаты точек пересечения сторон треугольника ABC с осью абсцисс.

Для нахождения координат точек пересечения сторон треугольника ABC с осью абсцисс, нужно вычислить уравнения прямых, проходящих через каждую пару вершин треугольника, а затем определить, где эти прямые пересекают ось абсцисс (где \( y = 0 \)).

Исходя из координат вершин треугольника:

• \( A(3, 4) \)
• \( B(0, -4) \)
• \( C(6, 2) \)

1. Сторона AB:

Координаты точек A и B:

• \( A(3, 4) \)
• \( B(0, -4) \)

Найдём уравнение прямой AB. Сначала рассчитаем наклон (угловой коэффициент) прямой:

\[ k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-4 - 4}{0 - 3} = \frac{-8}{-3} = \frac{8}{3} \]

Теперь используем уравнение линии \( y - y_A = k(x - x_A) \):

\[ y - 4 = \frac{8}{3}(x - 3) \]

Упрощаем:

\[ y - 4 = \frac{8}{3}x - 8 \] \[ y = \frac{8}{3}x - 4 \]

Теперь находим точку пересечения с осью абсцисс, подставив \( y = 0 \):

\[ 0 = \frac{8}{3}x - 4 \implies \frac{8}{3}x = 4 \implies x = \frac{4 \cdot 3}{8} = \frac{12}{8} = 1.5 \]

Таким образом, точка пересечения AB с осью абсцисс: \( (1.5, 0) \).

2. Сторона BC:

Координаты точек B и C:

• \( B(0, -4) \)
• \( C(6, 2) \)

Найдём наклон (угловой коэффициент) прямой BC:

\[ k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{2 - (-4)}{6 - 0} = \frac{6}{6} = 1 \]

Теперь уравнение прямой BC:

\[ y - (-4) = 1(x - 0) \] \[ y + 4 = x \implies y = x - 4 \]

Найдём точку пересечения с осью абсцисс, подставив \( y = 0 \):

\[ 0 = x - 4 \implies x = 4 \]

Таким образом, точка пересечения BC с осью абсцисс: \( (4, 0) \).

3. Сторона AC:

Координаты точек A и C:

• \( A(3, 4) \)
• \( C(6, 2) \)

Найдём наклон (угловой коэффициент) прямой AC:

\[ k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{2 - 4}{6 - 3} = \frac{-2}{3} \]

Уравнение прямой AC:

\[ y - 4 = \frac{-2}{3}(x - 3) \]

Упрощаем:

\[ y - 4 = \frac{-2}{3}x + 2 \implies y = \frac{-2}{3}x + 6 \]

Теперь находим точку пересечения с осью абсцисс, подставив \( y = 0 \):

\[ 0 = \frac{-2}{3}x + 6 \implies \frac{-2}{3}x = -6 \implies x = \frac{-6 \cdot 3}{-2} = 9 \]

Таким образом, точка пересечения AC с осью абсцисс: \( (9, 0) \).

Итоговые результаты:

Точки пересечения сторон треугольника ABC с осью абсцисс:

• Сторона AB: \( (1.5, 0) \)
• Сторона BC: \( (4, 0) \)
• Сторона AC: \( (9, 0) \)