Cos 2x +3 sin x ≥ 1

Давайте решим неравенство \( \cos 2x + 3\sin x \geq 1 \).

Первое, что мы можем сделать, это воспользоваться известными тригонометрическими идентичностями. Напомним, что \(\cos 2x\) может быть выражен через \(\sin x\) следующим образом:

\[ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \]

Теперь подставим это в неравенство:

\[ 1 - 2\sin^2 x + 3\sin x \geq 1 \]

Упростим его:

\[ -2\sin^2 x + 3\sin x \geq 0 \]

Теперь вынесем общий множитель \(-\sin x\) (обратите внимание, что при выносе мы поменяли знак неравенства):

\[ -\sin x(2\sin x - 3) \leq 0 \]

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. \( \sin x = 0 \)
2. \( 2\sin x - 3 = 0 \)

Решим каждый из этих случаев:

1. \( \sin x = 0 \)

Это происходит при \( x = n\pi \) (где \( n \) — целое число).

2. \( 2\sin x - 3 = 0 \)

Отсюда следует:

\[ 2\sin x = 3 \quad \Rightarrow \quad \sin x = \frac{3}{2} \]

Однако \(\sin x\) не может превышать 1, поэтому это уравнение не имеет решения.

Теперь определим знаки выражения \(-\sin x(2\sin x - 3)\):

• При \( \sin x < 0 \): выражение будет положительным.
• При \( 0 < \sin x < \frac{3}{2} \): выражение будет отрицательным или равным нулю.
• При \( \sin x > 1 \) (что невозможно): выражение не имеет смысла.

Таким образом, неравенство выполняется для интервалов:

\[ \sin x \in [0, 1] \]

То есть:

\[ x \in [n\pi, n\pi + \frac{\pi}{2}] \]

где \( n \) — целое число. Таким образом, все решения неравенства можно записать как:

\[ x = n\pi \quad \text{для } n \in \mathbb{Z} \text{, а также на промежутках } [n\pi, n\pi + \frac{\pi}{2}]. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!