2(2x-1)² + 5(2x-1) - 3 = 0 (метод субституции)

Для решения уравнения \(2(2x-1)² + 5(2x-1) - 3 = 0\) с использованием метода подстановки, давайте сначала введем замену переменной.

Обозначим: \[ y = 2x - 1. \]

Теперь у нас имеется новое уравнение: \[ 2y² + 5y - 3 = 0. \]

Следующим шагом будет использование формулы для решения квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a}, \] где \(a = 2\), \(b = 5\), и \(c = -3\).

Сначала найдем дискриминант: \[ D = b² - 4ac = 5² - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49. \]

Теперь подставим значения в формулу: \[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}. \]

Это дает нам два возможных значения для \(y\):

1. \( y_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \)
2. \( y_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3. \)

Теперь вернемся к замене \(y = 2x - 1\) и решим для \(x\).

1. Для \(y_1 = \frac{1}{2}\): \[ 2x - 1 = \frac{1}{2} \] \[ 2x = \frac{1}{2} + 1 \] \[ 2x = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \] \[ x = \frac{3}{4}. \]

2. Для \(y_2 = -3\): \[ 2x - 1 = -3 \] \[ 2x = -3 + 1 \] \[ 2x = -2 \] \[ x = -1. \]

Таким образом, нашим окончательным решением для уравнения \(2(2x-1)² + 5(2x-1) - 3 = 0\) являются два значения: \[ x_1 = \frac{3}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = -1. \]