√2x + √5 + √3-x = 4
Для решения уравнения \( \sqrt{2x} + \sqrt{5} + \sqrt{3 - x} = 4 \), давайте шаг за шагом разберем его.
Переносим известные значения: Сначала уберем \( \sqrt{5} \) с левой стороны уравнения: \[ \sqrt{2x} + \sqrt{3 - x} = 4 - \sqrt{5} \]
Квадрат обеих сторон: Теперь квадратим обе стороны уравнения, чтобы избавиться от квадратных корней: \[ (\sqrt{2x} + \sqrt{3 - x})^2 = (4 - \sqrt{5})^2 \]
Раскроем скобки: \[ 2x + (3 - x) + 2\sqrt{2x}\sqrt{3 - x} = 16 - 8\sqrt{5} + 5 \] Это упростится до: \[ 2x + 3 - x + 2\sqrt{2x}\sqrt{3 - x} = 21 - 8\sqrt{5} \] Сочетаем подобные члены: \[ x + 2\sqrt{2x}\sqrt{3 - x} = 18 - 8\sqrt{5} \]
Изолируем корень: Теперь перейдем к следующему шагу: \[ 2\sqrt{2x}\sqrt{3 - x} = 18 - 8\sqrt{5} - x \]
Квадратим снова: Квадратим обе стороны уравнения, чтобы избавиться от корня: \[ (2\sqrt{2x}\sqrt{3 - x})^2 = (18 - 8\sqrt{5} - x)^2 \]
Раскроем обе стороны: \[ 4 \cdot 2x \cdot (3 - x) = (18 - 8\sqrt{5} - x)(18 - 8\sqrt{5} - x) \] При этом левой части уравнения будет: \[ 8x(3 - x) = 24x - 8x^2 \] А правая часть развернётся, что даст нам квадратный трёхчлен.
Решаем квадратное уравнение: После упрощения у вас останется квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта.
Проверка корней: Не забудьте проверить корни, подставив их обратно в исходное уравнение, так как при возведении в квадрат могут появляться лишние решения.
Таким образом, дважды проходя через квадрат и изоляцию корней, мы можем получить значения \( x \), которые не только соответствуют уравнению, но и удовлетворяют условиям (например, \( 3 - x \geq 0 \) и \( 2x \geq 0 \)).
Если вам нужен более детальный разбор какого-либо из шагов или решение конкретной части, дайте знать!
