(x+1)y’+xy=0

Чтобы решить дифференциальное уравнение \((x+1)y' + xy = 0\), давайте сначала изолируем производную \(y'\).

1. Перепишем уравнение: \[ (x+1)y' = -xy \]

2. Разделим обе стороны на \((x+1)\): \[ y' = -\frac{xy}{x+1} \]

Теперь мы видим, что уравнение можно решить с использованием метода разделения переменных. Для этого мы приведем все члены, содержащие \(y\), на одну сторону, а все члены, содержащие \(x\), на другую.

3. Перепишем уравнение в следующем виде: \[ \frac{dy}{y} = -\frac{x}{x+1}dx \]

4. Теперь интегрируем обе стороны: \[ \int \frac{dy}{y} = -\int \frac{x}{x+1}dx \]

Интеграл слева: \[ \int \frac{dy}{y} = \ln |y| + C_1 \]

Теперь решим интеграл справа. Можно использовать деление по частям: \[ -\int \frac{x}{x+1}dx = -\int \left(1 - \frac{1}{x+1}\right)dx = -\int dx + \int \frac{1}{x+1}dx = -x + \ln |x+1| + C_2 \]

5. Таким образом, у нас получается: \[ \ln |y| = -x + \ln |x+1| + C \] где \(C = C_2 - C_1\) — новая постоянная интегрирования.

6. Переведем уравнение из логарифмической формы в экспоненциальную: \[ |y| = e^{-x} \cdot |x+1| e^C \]

Таким образом, можно записать конечный результат: \[ y = C e^{-x} (x + 1) \] где \(C\) — произвольная постоянная. Это общее решение данного дифференциального уравнения. Вы можете подставить начальные условия, если они известны, для нахождения конкретного решения.