(x+1)y’+xy=0
Чтобы решить уравнение \( (x+1)y' + xy = 0 \), начнем с разделения переменных.
Перепишем уравнение, выделив \( y' \): \[ (x + 1)y' = -xy \] В этом случае мы можем выразить \( y' \): \[ y' = -\frac{xy}{x + 1} \]
Теперь разделим переменные: \[ \frac{dy}{y} = -\frac{x}{x + 1}dx \]
Интегрируем обе стороны: \[ \int \frac{dy}{y} = \int -\frac{x}{x + 1}dx \]
Левая часть становится: \[ \ln |y| + C_1 \]
Для правой части воспользуемся разделением: \[ -\int \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)dx = -\left(x - \ln |x + 1|\right) + C_2 \] Таким образом, получаем: \[ -x + \ln |x + 1| + C_2 \]
Объединив результаты, получим: \[ \ln |y| = -x + \ln |x + 1| + C \]
Удаляем логарифмы, возведя обе стороны в степень: \[ |y| = e^{-x + \ln |x + 1| + C} = K|x + 1|e^{-x} \] где \( K = e^C \) — произвольная постоянная.
Таким образом, общее решение уравнения имеет вид: \[ y = K(x + 1)e^{-x} \]
Это решение представляет собой функцию, зависящую от произвольной постоянной \( K \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с чем-то другим, рад помочь!
