(x+1)y'+xy=0

Для решения уравнения \((x+1)y' + xy = 0\) можно использовать метод разделения переменных или метод решения линейных уравнений. Давайте рассмотрим данный случай шаг за шагом.

1. Запишем уравнение в более удобной форме: \[ y' = -\frac{xy}{x+1} \]

2. Теперь разделим переменные. Перепишем уравнение так, чтобы все члены с \(y\) были с одной стороны, а с \(x\) - с другой: \[ \frac{dy}{y} = -\frac{x}{x+1} dx \]

3. Интегрируем обе стороны: \[ \int \frac{dy}{y} = \int -\frac{x}{x+1} dx \]

4. Сначала решим интеграл слева: \[ \ln|y| = -\int \frac{x}{x+1} dx \] Для интегрирования правой части можно использовать деление на части или подстановку. Разделим \(x/(x+1)\) следующим образом: \[ \frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} \] Таким образом, у нас получится: \[ -\int \left(1 - \frac{1}{x+1}\right) dx = -\left(x - \ln|x+1|\right) + C \]

5. Подставим это обратно в уравнение: \[ \ln|y| = -x + \ln|x+1| + C \]

6. ТеперьExponentiate обе стороны для устранения логарифма: \[ |y| = e^{-x + \ln|x+1| + C} \] Это можно переписать как: \[ |y| = K |x+1| e^{-x}, \quad где \, K = e^C \]

7. Учитывая положительное значение \(y\), получаем: \[ y = K(x+1)e^{-x} \]

Таким образом, мы нашли общее решение данного дифференциального уравнения. Если нужны дополнительные разъяснения или примеры, не стесняйтесь спрашивать!