при каких значениях переменной имеет смысл выражение x-5/x²-4x-21

Чтобы определить, при каких значениях переменной имеет смысл выражение \( \frac{x - 5}{x^2 - 4x - 21} \), необходимо обратить внимание на знаменатель, так как дробь не определена, когда знаменатель равен нулю.

Рассмотрим знаменатель:

\[ x^2 - 4x - 21 \]

Мы можем разложить этот квадратный трехчлен на множители. Для этого найдем корни уравнения \( x^2 - 4x - 21 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \]

Теперь найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2} = 7 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2} = -3 \]

Таким образом, дробь будет не определена при \( x = 7 \) и \( x = -3 \). Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях \( x \), кроме этих двух. В итоге, ответ можно записать так:

Выражение \( \frac{x - 5}{x^2 - 4x - 21} \) имеет смысл при \( x \neq 7 \) и \( x \neq -3 \).