Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 17см и катетом 15 см, высота призмы равна 9 см. Найдите площадь полной поверхности
Чтобы найти площадь полной поверхности прямой призмы, нам нужно сначала рассчитать площадь основания и затем добавить площади боковых граней.
- Находим площадь основания, которое является прямоугольным треугольником.
Для прямоугольного треугольника с катетами \( a \) и \( b \) площадь рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] Где:
- \( a = 15 \) см (один катет),
- Для нахождения второго катета \( b \) используем теорему Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 17^2 = 15^2 + b^2 \Rightarrow 289 = 225 + b^2 \Rightarrow b^2 = 289 - 225 = 64 \Rightarrow b = 8 \text{ см} \]
Теперь мы можем найти площадь основания: \[ S = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = \frac{1}{2} \times 120 = 60 \text{ см}^2 \]
- Находим площадь боковых граней.
Боковые грани призмы представляют собой прямоугольники. У нас есть три боковые грани:
- Две грани, которые соответствуют катету 15 см: \[ S_1 = 15 \times 9 = 135 \text{ см}^2 \]
- Две грани, которые соответствуют катету 8 см: \[ S_2 = 8 \times 9 = 72 \text{ см}^2 \]
- Одна грань, которая соответствует гипотенузе 17 см: \[ S_3 = 17 \times 9 = 153 \text{ см}^2 \]
Теперь суммируем площади боковых граней: \[ S_{бок} = 2S_1 + 2S_2 + S_3 = 2 \times 135 + 2 \times 72 + 153 = 270 + 144 + 153 = 567 \text{ см}^2 \]
- Находим полную площадь поверхности призмы.
Полная площадь поверхности \( S_{пол} \) вычисляется как сумма площади основания и площади боковых граней, умноженной на 2 (так как у нас две основания): \[ S_{пол} = 2S + S_{бок} = 2 \times 60 + 567 = 120 + 567 = 687 \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь полной поверхности прямой призмы составляет 687 см².
