Перевод периодичческой дроби в обыкновенную 2,112(223)

Чтобы перевести периодическую дробь 2,112(223) в обыкновенную дробь, следуем следующему пошаговому процессу:

1. Обозначим дробь: \( x = 2,112223223...\)

2. Для удобства работы, выделим целую часть и периодическую часть. Мы можем записать \( x \) как: \[ x = 2 + 0,112223223...\] Обозначим \( y = 0,112223223...\)

3. Теперь найдём \( y \). Для этого сначала умножим \( y \) на 1000, чтобы сдвинуть дробь на три десятичные позиции: \[ 1000y = 112,223223...\]

4. Затем умножим \( y \) на 100, чтобы иметь одинаковые периодические части: \[ 100y = 11,2223223...\]

5. Теперь вычтем уравнение \( 100y \) из \( 1000y \): \[ 1000y - 100y = 112,223223... - 11,2223223...\] Это дает: \[ 900y = 101,001\]

6. Решим уравнение для \( y \): \[ y = \frac{101,001}{900}\]

7. Теперь вернемся к \( x \): \[ x = 2 + y = 2 + \frac{101,001}{900}\] Для приведения к общему знаменателю: \[ x = \frac{2 \cdot 900}{900} + \frac{101,001}{900} = \frac{1800 + 101,001}{900} = \frac{102,801}{900}\]

8. Теперь у нас есть дробь, но её можно упростить. Разделим числитель и знаменатель на 3 (в данном случае, 102801 и 900 делятся на 3): \[ \frac{102801 \div 3}{900 \div 3} = \frac{34267}{300}\]

Таким образом, обыкновенная дробь, соответствующая периодической дроби \( 2,112(223) \), будет равна: \[ \frac{34267}{300} \]