В треугольнике АВС угол C равен 90°, AB = 20,5, tg A = 40/9. Найдите ВС.

Для решения задачи воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°.

Дано:

• AB = 20,5 (это гипотенуза),
• tg A = 40/9.

Сначала найдем значения катетов AC и BC. Тангенс угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC):

\[ tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{40}{9}. \]

Обозначим BC как x и AC как y. Таким образом, можем записать:

\[ \frac{x}{y} = \frac{40}{9} \implies 9x = 40y \implies y = \frac{9}{40}x. \]

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, которая в нашем случае будет выглядеть так:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2. \]

Подставим известные значения:

\[ 20,5^2 = y^2 + x^2. \]

Подставим \( y \) в полученное уравнение:

\[ 20,5^2 = \left( \frac{9}{40}x \right)^2 + x^2. \]

Решим это уравнение:

\[ 420,25 = \left( \frac{81}{1600} x^2 \right) + x^2. \]

Приведем x^2 к общему знаменателю:

\[ 420,25 = \frac{81}{1600} x^2 + \frac{1600}{1600} x^2 = \frac{81 + 1600}{1600} x^2 = \frac{1681}{1600} x^2. \]

Теперь выразим x^2:

\[ x^2 = \frac{420,25 \cdot 1600}{1681}. \]

Вычислим это значение:

\[ x^2 = \frac{672400}{1681}. \]

Теперь найдем x:

\[ x = BC = \sqrt{\frac{672400}{1681}} = \frac{820}{41} = 20. \]

Таким образом, длина катета BC равна 20.