В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 черешню. Двое любят груши и черешню, 6 груши и яблоки 5 яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?
Для решения этой задачи удобно использовать принцип включения-исключения. Давайте обозначим:
- \( G \) — количество учеников, любящих груши (7 учеников),
- \( C \) — количество учеников, любящих черешню (11 учеников),
- \( Y \) — количество учеников, любящих яблоки (нам нужно найти это число),
- \( G \cap C \) — количество учеников, любящих и груши, и черешню (2 ученика),
- \( G \cap Y \) — количество учеников, любящих груши и яблоки (6 учеников),
- \( C \cap Y \) — количество учеников, любящих черешню и яблоки (5 учеников),
- \( G \cap C \cap Y \) — количество учеников, любящих все три фрукта (2 ученика).
Также известно, что 4 ученика не любят фруктов вообще, а всего в классе 25 учеников. Таким образом, количество учеников, любящих хотя бы один фрукт, составляет:
\[ 25 - 4 = 21 \]
Теперь можем воспользоваться формулой включения-исключения для нахождения общего количества учеников, которые любят хотя бы один из трех фруктов:
\[ n(G \cup C \cup Y) = n(G) + n(C) + n(Y) - n(G \cap C) - n(G \cap Y) - n(C \cap Y) + n(G \cap C \cap Y) \]
Подставим известные значения:
\[ 21 = 7 + 11 + Y - 2 - 6 - 5 + 2 \]
Теперь упростим уравнение:
\[ 21 = 7 + 11 + Y - 2 - 6 - 5 + 2 \] \[ 21 = 7 + 11 - 11 + Y \] \[ 21 = 7 + Y \]
Теперь решим это уравнение для \( Y \):
\[ Y = 21 - 7 \] \[ Y = 14 \]
Таким образом, количество учеников, любящих яблоки, составляет 14.
