Исследования функции и построение её графика y= (x-1)/x2 1. Область определения 2. Чётность или нечётность 3. Нули функции 4. Промежутки знака постоянства 5. Промежутки монотонности функции 6. Перегибы графика функции 7. Асимптоты 8. Построение графика по свойству

Давайте подробно рассмотрим функцию \( y = \frac{x-1}{x^2} \) и изучим все её свойства.

1. Область определения

Область определения функции — это множество значений \( x \), при которых функция имеет смысл. Для данной функции \( y = \frac{x-1}{x^2} \) определение ограничено, так как деление на ноль невозможно. Поэтому:

• \( x^2 \neq 0 \)
• \( x \neq 0 \)

Таким образом, область определения: \( D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \) (все действительные числа, кроме нуля).

2. Чётность или нечётность

Функция четная, если выполняется условие \( f(-x) = f(x) \), и нечётная — если \( f(-x) = -f(x) \). Рассмотрим:

\[ f(-x) = \frac{-x - 1}{(-x)^2} = \frac{-x - 1}{x^2} \]

Можно увидеть, что \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), следовательно, функция не является ни четной, ни нечётной.

3. Нули функции

Нули функции находятся при условии \( y = 0 \):

\[ \frac{x-1}{x^2} = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \]

Таким образом, нуль функции: \( x = 1 \).

4. Промежутки знака постоянства

Чтобы определить знаки функции, рассмотрим числитель и знаменатель.

• Числитель \( x-1 \):

  • Положительный, если \( x > 1 \)
  • Нулевой при \( x = 1 \)
  • Отрицательный при \( x < 1 \)

• Знаменатель \( x^2 \):

  • Всегда положительный при \( x \neq 0 \)

Теперь можем определить знаки функции:

• \( x < 1 \): \( y < 0 \)
• \( x = 1 \): \( y = 0 \)
• \( x > 1 \): \( y > 0 \)

5. Промежутки монотонности функции

Для изучения монотонности необходимо найти производную функции:

\[ y' = \left( \frac{x-1}{x^2} \right)' = \frac{(1)(x^2) - (x-1)(2x)}{(x^2)^2} = \frac{x^2 - 2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x(x - 2)}{x^4} \]

Теперь определим знаки производной:

• \( y' > 0 \) для \( 0 < x < 2 \)
• \( y' < 0 \) для \( x > 2 \)

Таким образом, функция возрастает на промежутке \( (0, 2) \) и убывает на \( (2, +\infty) \).

6. Перегибы графика функции

Для нахождения перегибов исследуем вторую производную. Однако можно сказать, что функция изменяет свою кривизну, если вторая производная меняет знак. Это требует дальнейших вычислений, но общая идея заключается в поиске интервалов, где вторая производная меняет знак.

7. Асимптоты

Рассмотрим асимптоты:

• Вертикальная асимптота: \( x = 0 \).
• Горизонтальная асимптота: рассмотрим предел \( y \) при \( x \to \pm \infty \):

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x^2} = 0 \]

Следовательно, горизонтальная асимптота: \( y = 0 \).

8. Построение графика по свойствам

Теперь, основываясь на всех найденных свойствах, можно построить график функции.

1. Обозначаем область определения: все \( x \) кроме 0.
2. Нуль функции — точка (1, 0).
3. Знаковая оболочка — функция меняет знак при \( x = 1 \) и ведёт себя по-разному при \( x < 1 \) и \( x > 1 \).
4. Учитываем точки стационарности и асимптоты.

В итоге получится график, который будет иметь вертикальную асимптоту в \( x=0 \) и горизонтальную в \( y=0 \) с поворотом в точке (2, y), где функция меняет свою монотонность.

Если у вас возникли дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать их!