Найдите наибольшее целочисленное решение системы неравенств x² < 49, 3x-1 > 0.

Чтобы решить систему неравенств \( x^2 < 49 \) и \( 3x - 1 > 0 \), давайте разберемся с каждым неравенством по отдельности.

1. Решим первое неравенство \( x^2 < 49 \).

   Это неравенство означает, что \( x \) должно находиться внутри интервала, где квадрат \( x \) меньше 49. Мы можем записать неравенство в виде:

   \[ -7 < x < 7 \]

   То есть \( x \) может принимать значения от -7 до 7, не включая эти значения.

2. Решим второе неравенство \( 3x - 1 > 0 \).

   Перепишем это неравенство:

   \[ 3x > 1 \implies x > \frac{1}{3} \]

   Таким образом, \( x \) должно быть больше \( \frac{1}{3} \).

3. Теперь объединим результаты.

   Мы имеем два условия:

   • \( -7 < x < 7 \)
   • \( x > \frac{1}{3} \)

   Объединив их, находим, что \( x \) должно находиться в следующем интервале:

   \[ \frac{1}{3} < x < 7 \]

4. Ищем наибольшее целочисленное решение.

   Наибольшее целое число, которое меньше 7, это 6. Проверим, удовлетворяет ли это значение неравенствам:

   • Для \( x = 6 \): \( 6^2 = 36 < 49 \) (выполняется)
   • Для \( x = 6 \): \( 3 \cdot 6 - 1 = 18 - 1 = 17 > 0 \) (выполняется)

Таким образом, наибольшее целочисленное решение данной системы неравенств — это 6.