х²+у²-12х+4у+40=0
Чтобы решить уравнение \(x² + y² - 12x + 4y + 40 = 0\), начнем с приведения его в каноническую форму. Для этого мы воспользуемся методом полного квадрата для переменных \(x\) и \(y\).
Соберем все элементы, зависящие от \(x\) и \(y\):
\[ x² - 12x + y² + 4y + 40 = 0 \]
Сначала упростим часть с \(x\):
Чтобы сделать полный квадрат для \(x\), добавим и вычтем \((\frac{12}{2})² = 36\):
\[ x² - 12x + 36 \]
Это можно записать как:
\[ (x - 6)² \]
Теперь применим тот же метод к части с \(y\):
Для \(y\) добавим и вычтем \((\frac{4}{2})² = 4\):
\[ y² + 4y + 4 \]
Это записывается как:
\[ (y + 2)² \]
Теперь подставим все обратно в уравнение:
Получим:
\[ (x - 6)² + (y + 2)² - 36 - 4 + 40 = 0 \]
Это упростится до:
\[ (x - 6)² + (y + 2)² = 0 \]
Теперь решим полученное уравнение:
Уравнение \( (x - 6)² + (y + 2)² = 0 \) имеет единственное решение, так как квадрат любой действительной величины не может быть отрицательным. Значит:
\[ (x - 6)² = 0 \quad \text{и} \quad (y + 2)² = 0 \]
Отсюда \( x - 6 = 0 \) и \( y + 2 = 0 \).
Таким образом, получаем:
\[ x = 6, \quad y = -2 \]
Ответ: Решением уравнения является точка \( (6, -2) \).
