Сторона равностороннего треугольника АВС равна 1. Найдите: а) | вектор ВА - вектор ВС| б) | 1/2 вектор АВ - вектор ВС|.

Чтобы решить эту задачу, начнём с теоретического обоснования и определения необходимых векторов.

1. У нас есть равносторонний треугольник ABC со стороной, равной 1. Обозначим координаты вершин треугольника:
   • A(0, 0)
   • B(1, 0)
   • C(0.5, \( \frac{\sqrt{3}}{2} \))

Эти координаты выбраны так, чтобы треугольник мог находиться в стандартном положении на плоскости.

Теперь определим векторы:

• Вектор \( \overrightarrow{BA} \) можно найти так: \[ \overrightarrow{BA} = A - B = (0, 0) - (1, 0) = (-1, 0) \]

• Вектор \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = \left(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - (1, 0) = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}) \]

Теперь найдём модуль разности векторов: а) \( | \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} | \) \[ \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = (-1, 0) - \left(-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = (-1 + 0.5, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = (-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \]

Чтобы найти модуль этого вектора, используем формулу: \[ |(-0.5, -\frac{\sqrt{3}}{2})| = \sqrt{(-0.5)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{0.25 + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1 \]

Ответ на пункт а: \( | \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} | = 1 \).

б) Теперь найдём модуль \( \left| \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} \right| \).

Сначала определим вектор \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0) \]

Теперь находим \( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \): \[ \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} (1, 0) = \left(\frac{1}{2}, 0\right) \]

Теперь вычислим \( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} \): \[ \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \left(\frac{1}{2}, 0\right) - \left(-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2} + 0.5, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(1, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]

Теперь находим модуль этого вектора: \[ \left| (1, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \right| = \sqrt{1^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} \]

Ответ на пункт б: \( \left| \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} \right| = \frac{\sqrt{7}}{2} \).