3. Автомат получает на вход четырёхзначное натуральное число и строит новое число по следующему алгоритму: 1. вычисляются суммы первой и второй, второй и третьей и третьей и…

Для того чтобы выяснить, какое наименьшее четырёхзначное натуральное число при заданном алгоритме выдаст результат 1215, необходимо проанализировать алгоритм:

1. Суммы цифр:

   • \( S_1 = a_1 + a_2 \)
   • \( S_2 = a_2 + a_3 \)
   • \( S_3 = a_3 + a_4 \)

   где \( a_1, a_2, a_3, a_4 \) — это цифры входного числа.

2. Отбрасывание наибольшей суммы: После подсчета сумм, наибольшая из них отбрасывается.

3. Упорядочивание: Оставшиеся суммы упорядочиваются в порядке неубывания.

Таким образом, для получения результата 1215, нужно, чтобы оставшиеся суммы (после отбрасывания наибольшей) составляли числа 1, 2 и 5.

Допустим, что:

• \( S_1 \leq S_2 \leq S_3 \)

В таком случае мы можем записать:

• \( S_1 = 1 \)
• \( S_2 = 2 \)
• \( S_3 = 5 \)

Теперь, чтобы решить для \( a_1, a_2, a_3, a_4 \) в этих условиях:

1. \( a_1 + a_2 = 1 \)
2. \( a_2 + a_3 = 2 \)
3. \( a_3 + a_4 = 5 \)

Из уравнения 1:

• \( a_1 + a_2 = 1 \)
  • Следовательно, \( a_1 = 1 - a_2 \)

Из уравнения 2:

• \( a_2 + a_3 = 2 \)
  • Следовательно, \( a_3 = 2 - a_2 \)

Из уравнения 3:

• \( a_3 + a_4 = 5 \)
  • Подставляя \( a_3 \): \( (2 - a_2) + a_4 = 5 \)
  • Преобразуем: \( a_4 = 5 - (2 - a_2) = a_2 + 3 \)

Теперь у нас есть:

1. \( a_1 = 1 - a_2 \)
2. \( a_3 = 2 - a_2 \)
3. \( a_4 = a_2 + 3 \)

Так как \( a_1, a_2, a_3, a_4 \) должны быть целыми цифрами от 0 до 9, \( a_2 \) должно удовлетворять определённым условиям.

• \( a_1 = 1 - a_2 \geq 0 \) \(\Rightarrow a_2 \leq 1\)
• \( a_3 = 2 - a_2 \geq 0 \) \(\Rightarrow a_2 \leq 2\)
• \( a_4 = a_2 + 3 \leq 9 \) \(\Rightarrow a_2 \leq 6\)

Из этих ограничений:

• \( a_2 \) может принимать значения 0 или 1.

Теперь давайте рассмотрим возможные значения для \( a_2 \):

1. Если \( a_2 = 0 \):

   • \( a_1 = 1 \)
   • \( a_3 = 2 \)
   • \( a_4 = 3 \)
   • Число: 1023.

2. Если \( a_2 = 1 \):

   • \( a_1 = 0 \) (что не подходит, так как число должно быть четырёхзначным).

Следовательно, единственным действительным вариантом является 1023.

Таким образом, наименьшее четырёхзначное число, чтобы получить результат 1215, — 1023.