Катер прошел 5 км против течения реки, а затем 21 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч
Давайте решим задачу о движении катера.
Обозначим:
- \( v \) — собственная скорость катера (в км/ч),
- \( v_{т} = 4 \) км/ч — скорость течения реки.
Когда катер движется против течения, его эффективная скорость равна \( v - v_{т} = v - 4 \) км/ч. Когда он движется по течению, его эффективная скорость равна \( v + v_{т} = v + 4 \) км/ч.
Теперь мы можем воспользоваться формулой для скорости:
\[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}. \]
Время, затраченное на путь против течения (5 км): \[ t_{1} = \frac{5}{v - 4}. \]
Время, затраченное на путь по течению (21 км): \[ t_{2} = \frac{21}{v + 4}. \]
Согласно условию, суммарное время в пути составляет 1 час: \[ t_{1} + t_{2} = 1. \]
Подставим выражения для времени в это уравнение: \[ \frac{5}{v - 4} + \frac{21}{v + 4} = 1. \]
Теперь решим это уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель \((v - 4)(v + 4)\): \[ 5(v + 4) + 21(v - 4) = (v - 4)(v + 4). \]
Раскроем скобки: \[ 5v + 20 + 21v - 84 = v^2 - 16. \]
Соберем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные: \[ 26v - 64 = v^2 - 16. \] \[ v^2 - 26v + 48 = 0. \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 676 - 192 = 484. \]
Значит, корни уравнения будут: \[ v = \frac{26 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{26 \pm 22}{2}. \]
Это дает два решения: \[ v_{1} = \frac{48}{2} = 24 \quad \text{и} \quad v_{2} = \frac{4}{2} = 2. \]
Рассмотрим оба решения в контексте задачи. Поскольку скорость катера должна быть больше скорости течения (4 км/ч), мы отбрасываем \( v = 2 \) км/ч.
Таким образом, собственная скорость катера составляет: \[ \boxed{24} \text{ км/ч}. \]
