3.Автомат получает на вход четырёхзначное натуральное число и строит новое число по следующему алгоритму: 1. вычисляются суммы первой и второй, второй и третьей и третьей и…

Для решения задачи необходимо найти такое четырёхзначное число \( abcd \), где \( a \), \( b \), \( c \) и \( d \) – это его цифры, и суммы его цифр \( S_1 = a + b \), \( S_2 = b + c \), \( S_3 = c + d \) после обработки должны дать результат 157.

Сначала запишем алгоритм обрабатываемых сумм:

1. Найдем суммы:

   • \( S_1 = a + b \)
   • \( S_2 = b + c \)
   • \( S_3 = c + d \)

2. Отбрасываем наименьшую из этих сумм.

3. Остальные две суммы должны быть записаны в порядке невозрастания.

Для получения итогового числа 157, запишем его как:

• Первая цифра: 1 (из 15)
• Вторая цифра: 5
• Третья цифра: 7

Для того чтобы получить 157 как результат обработки, необходимо, чтобы у нас были такие суммы, например:

• Наибольшая сумма равняется 15,
• Вторая сумма равняется 7,
• Наименьшая сумма отбрасывается.

Таким образом, у нас может быть три варианта:

1. \( S_1 = 15 \), \( S_2 = 7 \), \( S_3 = 0 \) (но это возможно только если какая-то из цифр равна 0, что недопустимо для натуральных чисел).
2. \( S_1 = 10 \), \( S_2 = 7 \), \( S_3 = 5 \).
3. \( S_1 = 15 \), \( S_2 = 5 \), \( S_3 = 10 \).

Теперь нужно проверить, существуют ли такие цифры \( a, b, c, d \).

Рассмотрим вариант \( S_1 = 15 \), \( S_2 = 7 \), \( S_3 = 5 \):

1. \( a + b = 15 \)
2. \( b + c = 7 \)
3. \( c + d = 5 \)

Решая систему уравнений:

• Из 1: \( b = 15 - a \)
• Подставим \( b \) во 2: \[ 15 - a + c = 7 \Rightarrow c = a - 8 \]
• Подставляем \( c \) в 3: \[ a - 8 + d = 5 \Rightarrow d = 13 - a \]

Теперь у нас есть:

• \( b = 15 - a \)
• \( c = a - 8 \)
• \( d = 13 - a \)

Проверим условия:

1. \( c \) и \( d \) должны быть неотрицательными:
   • \( a - 8 \geq 0 \Rightarrow a \geq 8 \)
   • \( 13 - a \geq 0 \Rightarrow a \leq 13 \)

При этом \( a \) – одна из цифр, следовательно, \( a \) может принимать значения 8, 9, 10, 11, 12 и 13. Однако 13 не может быть цифрой, поэтому окончательно:

• \( a = 8, 9, 10, 11, 12 \)

Теперь попробуем найти максимальное число, подставляя значения \( a \):

• Для \( a = 12 \):

  • \( b = 15 - 12 = 3 \)
  • \( c = 12 - 8 = 4 \)
  • \( d = 13 - 12 = 1 \)
  • Получаем число: 12341 (что не является четырёхзначным).

• Для \( a = 11 \):

  • \( b = 15 - 11 = 4 \)
  • \( c = 11 - 8 = 3 \)
  • \( d = 13 - 11 = 2 \)
  • Получаем число: 11432 (что не является четырёхзначным).

• Для \( a = 10 \):

  • \( b = 15 - 10 = 5 \)
  • \( c = 10 - 8 = 2 \)
  • \( d = 13 - 10 = 3 \)
  • Получаем число: 10523 (что не является четырёхзначным).

• Для \( a = 9 \):

  • \( b = 15 - 9 = 6 \)
  • \( c = 9 - 8 = 1 \)
  • \( d = 13 - 9 = 4 \)
  • Получаем число: 9614 (это четырёхзначное).

• Для \( a = 8 \):

  • \( b = 15 - 8 = 7 \)
  • \( c = 8 - 8 = 0 \)
  • \( d = 13 - 8 = 5 \)
  • Получаем число: 8705 (это четырёхзначное).

Поэтому максимальное четырёхзначное число, которое выдаст в результате 157, это 9704.