-x-y-2z=2 2x+y-z=-1 -2x-y-2z=4 решить методом гаусса

Для решения данной системы уравнений методом Гаусса, начнем с записи системы в виде расширенной матрицы:

\[ \begin{bmatrix} -1 & -1 & -2 & | & 2 \\ 2 & 1 & -1 & | & -1 \\ -2 & -1 & -2 & | & 4 \end{bmatrix} \]

Теперь начнем преобразование матрицы к треугольному виду.

Шаг 1: Приведем первый элемент первой строки к единице

Умножим первую строку на -1:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | & -2 \\ 2 & 1 & -1 & | & -1 \\ -2 & -1 & -2 & | & 4 \end{bmatrix} \]

Шаг 2: Обнулим элементы под первым элементом первой строки

Вторую строку обновим, вычитая 2 первых строки, а третью - добавляя 2 первых строки:

Для второй строки: \[ 2 - 2 \cdot 1 = 0 \] \[ 1 - 2 \cdot 1 = -1 \] \[ -1 - 2 \cdot 2 = -5 \] \[ -1 - 2 \cdot (-2) = 3 \]

Для третьей строки: \[ -2 + 2 \cdot 1 = 0 \] \[ -1 + 2 \cdot 1 = 1 \] \[ -2 + 2 \cdot 2 = 2 \] \[ 4 + 2 \cdot (-2) = 0 \]

Таким образом, получаем:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | & -2 \\ 0 & -1 & -5 & | & 3 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 \end{bmatrix} \]

Шаг 3: Обнулим элементы под вторым элементом второй строки

Сначала сделаем так, чтобы второй элемент во втором ряду стал 1. Умножим вторую строку на -1:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | & -2 \\ 0 & 1 & 5 & | & -3 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 \end{bmatrix} \]

Теперь вычтем третью строку из второй:

Чтобы обнулить элемент во втором столбце третьей строки (вторую строку минус третью):

\[ 0 - 0 = 0 \] \[ 1 - 1 = 0 \] \[ 5 - 2 = 3 \] \[ -3 - 0 = -3 \]

Теперь мы имеем:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | & -2 \\ 0 & 1 & 5 & | & -3 \\ 0 & 0 & 3 & | & -3 \end{bmatrix} \]

Шаг 4: Обратный ход

Теперь будем решать систему уравнений, начиная снизу:

Третье уравнение: \[ 3z = -3 \] \[ z = -1 \]

Второе уравнение: \[ y + 5(-1) = -3 \] \[ y - 5 = -3 \] \[ y = 2 \]

Первое уравнение: \[ x + 2 + 2(-1) = -2 \] \[ x + 2 - 2 = -2 \] \[ x = -2 \]

Ответ

Таким образом, решение системы: \[ x = -2, \quad y = 2, \quad z = -1 \]