Вариант 2 1. Решите неравенство методом интервалов: a) (x + 7)(x - 5) < 0 г) (x + 9)(x + 1)(x - 4) > 0 6) x ^ 2 - 121 > 0 д) ((x + 8) * x)/(x - 5) < 0 в) - x ^ 2 + 11x + 60 >= 0

Давайте решим каждое неравенство методом интервалов.

a) \((x + 7)(x - 5) < 0\)

1. Найдем нули: \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\); \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\).

2. Разбиваем числовую прямую на интервалы: \((-\infty, -7)\), \((-7, 5)\), \((5, +\infty)\).

3. Выберем тестовую точку из каждого интервала:

   • Для интервала \((-\infty, -7)\) (например, \(x = -8\)): \((-8 + 7)(-8 - 5) = (-)(-) > 0\)
   • Для интервала \((-7, 5)\) (например, \(x = 0\)): \((0 + 7)(0 - 5) = (+)(-) < 0\)
   • Для интервала \((5, +\infty)\) (например, \(x = 6\)): \((6 + 7)(6 - 5) = (+)(+) > 0\)

4. Ответ: \((-7, 5)\).

г) \((x + 9)(x + 1)(x - 4) > 0\)

1. Нули: \(x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9\); \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\); \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\).

2. Интервалы: \((-\infty, -9)\), \((-9, -1)\), \((-1, 4)\), \((4, +\infty)\).

3. Тестовые точки:

   • Для \((-\infty, -9)\) (например, \(x = -10\)): \((-)(-)(-) > 0\)
   • Для \((-9, -1)\) (например, \(x = -5\)): \((+)(-)(-) < 0\)
   • Для \((-1, 4)\) (например, \(x = 0\)): \((+)(+)(-) < 0\)
   • Для \((4, +\infty)\) (например, \(x = 5\)): \((+)(+)(+) > 0\)

4. Ответ: \((-\infty, -9) \cup (4, +\infty)\).

6) \(x^2 - 121 > 0\)

1. Это неравенство можно переписать как \((x - 11)(x + 11) > 0\).

2. Нули: \(x - 11 = 0 \Rightarrow x = 11\); \(x + 11 = 0 \Rightarrow x = -11\).

3. Интервалы: \((-\infty, -11)\), \((-11, 11)\), \((11, +\infty)\).

4. Тестовые точки:

   • Для \((-\infty, -11)\) (например, \(x = -12\)): \((-)(-) > 0\)
   • Для \((-11, 11)\) (например, \(x = 0\)): \((-)(+) < 0\)
   • Для \((11, +\infty)\) (например, \(x = 12\)): \((+)(+) > 0\)

5. Ответ: \((-\infty, -11) \cup (11, +\infty)\).

д) \(\frac{(x + 8) x}{(x - 5)} < 0\)

1. Нули: \(x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8\); \(x = 0\); \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\).

2. Интервалы: \((-\infty, -8)\), \((-8, 0)\), \((0, 5)\), \((5, +\infty)\).

3. Тестовые точки:

   • Для \((-\infty, -8)\) (например, \(x = -9\)): \((-)(-)/(+) > 0\)
   • Для \((-8, 0)\) (например, \(x = -1\)): \((+)(-)/(+) < 0\)
   • Для \((0, 5)\) (например, \(x = 1\)): \((+)(+)/(+) > 0\)
   • Для \((5, +\infty)\) (например, \(x = 6\)): \((+)(+)/(+) > 0\)

4. Ответ: \((-8, 0)\).

в) \(-x^2 + 11x + 60 \geq 0\)

1. Преобразуем неравенство: \(x^2 - 11x - 60 \leq 0\).

2. Нули: найдем дискриминант \(D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 121 + 240 = 361 \Rightarrow \sqrt{D} = 19\).

3. Корни: \(x_1 = \frac{11 - 19}{2} = -4\); \(x_2 = \frac{11 + 19}{2} = 15\).

4. Интервалы: \((-\infty, -4)\), \((-4, 15)\), \((15, +\infty)\).

5. Тестовые точки:

   • Для \((-\infty, -4)\) (например, \(x = -5\)): \((+)\) > 0
   • Для \((-4, 15)\) (например, \(x = 0\)): \((-)(+) \leq 0\)
   • Для \((15, +\infty)\) (например, \(x = 16\)): \((+)(+) > 0\)

6. Ответ: \([-4, 15]\).

Теперь у вас есть решения для всех предложенных неравенств! Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться!