Информатика

Привет! Давай разберёмся с тем, что тут нужно сделать. На картинке видно задание на тему логики, а именно необходимо доказать тождественную ложность и истинность логических формул.

Давай начнем с первого задания - доказательства тождественной ложности.

3.7. Доказать тождественную ложность следующих формул:

1. \( x \rightarrow \neg x \)
2. \( x \wedge \neg x \)
3. \( (x \rightarrow y) \wedge (y \rightarrow \neg x) \)
4. \( (x \vee y) \wedge (\neg x \vee y) \wedge (\neg x \vee \neg y) \)

1) \( x \rightarrow \neg x \)

Для формулы \( x \rightarrow \neg x \):

• Рассмотрим случаи, где x может быть истинным или ложным:
  • Если \( x \) истинно, то \( \neg x \) ложно, значит \( x \rightarrow \neg x \) будет ложным.
  • Если \( x \) ложно, то \( \neg x \) истинно, значит \( x \rightarrow \neg x \) будет истинным.

Таким образом, эта формула не является тождественно ложной во всех случаях.

2) \( x \wedge \neg x \)

Для формулы \( x \wedge \neg x \):

• Рассмотрим случаи, где x может быть истинным или ложным:
  • Если \( x \) истинно, то \( \neg x \) ложно, значит \( x \wedge \neg x \) будет ложным.
  • Если \( x \) ложно, то \( \neg x \) истинно, значит \( x \wedge \neg x \) будет ложным.

Эта формула является тождественно ложной, так как она ложна в любом случае.

3) \( (x \rightarrow y) \wedge (y \rightarrow \neg x) \)

Для формулы \( (x \rightarrow y) \wedge (y \rightarrow \neg x) \):

• Рассмотрим возможные значения \( x \) и \( y \):
  • Если \( x \) истинно и \( y \) истинно, то \( x \rightarrow y \) истинно и \( y \rightarrow \neg x \) ложно, значит формула будет ложной.
  • Если \( x \) истинно и \( y \) ложно, то \( x \rightarrow y \) ложно и \( y \rightarrow \neg x \) истинно, формула будет ложной.
  • Если \( x \) ложно и \( y \) истинно, то \( x \rightarrow y \) истинно и \( y \rightarrow \neg x \) будет ложным, формула будет ложной.
  • Если \( x \) ложно и \( y \) ложно, то \( x \rightarrow y \) истинно и \( y \rightarrow \neg x \) истинно, формула будет истинной.

Таким образом, эта формула не будет тождественно ложной.

4) \( (x \vee y) \wedge (\neg x \vee y) \wedge (\neg x \vee \neg y) \)

Для формулы \( (x \vee y) \wedge (\neg x \vee y) \wedge (\neg x \vee \neg y) \):

• Рассмотрим случаи для \( x \) и \( y \):
  • Если \( x \) истинно и \( y \) истинно, то \( (x \vee y) \) истинно, \( (\neg x \vee y) \) истинно и \( (\neg x \vee \neg y) \) ложно, значит формула будет ложной.
  • Если \( x \) истинно и \( y \) ложно, то \( (x \vee y) \) истинно, \( (\neg x \vee y) \) ложно и \( (\neg x \vee \neg y) \) истинно, формула будет ложной.
  • Если \( x \) ложно и \( y \) истинно, то \( (x \vee y) \) истинно, \( (\neg x \vee y) \) истинно и \( (\neg x \vee \neg y) \) ложно, формула будет ложной.
  • Если \( x \) ложно и \( y \) ложно, то \( (x \ве y) \) ложно, \( (\neg x \ве y) \) истинно и \( (\neg x \ве \нег y) \) истинно, формула будет ложной.

Таким образом, формула является тождественно ложной.

Теперь перейдем ко второму заданию - доказательства тождественной истинности.

3.6. Доказать тождественную истинность следующих формул:

1. \( x \vee \neg x \)
2. \( x \wedge x \)
3. \( x \vee (x \wedge y) \)
4. \( (x \wedge y) \vee (x \wedge \neg y) \)

1) \( x \vee \neg x \)

Для формулы \( x \vee \neg x \):

• Рассмотрим случаи, где \( x \) может быть истинным или ложным:
  • Если \( x \) истинно, то \( x \vee \neg x \) будет истинно.
  • Если \( x \) ложно, то \( \neg x \) истинно, и \( x \ве \нег x \) будет истинно.

Эта формула является тождественно истинной, так как она истинна во всех случаях.

2) \( x \wedge x \)

Для формулы \( x \wedge x \):

• Рассмотрим случаи, где x может быть истинным или ложным:
  • Если \( x \) истинно, то \( x \wedge x \) будет истинно.
  • Если \( x \) ложно, то \( x \wedge x \) будет ложным.

Эта формула не является тождественно истинной, так как она ложно, если \( x \) ложно.

3) \( x \ве (x \wedge y) \)

Для формулы \( x \ве (x \wedge y) \):

• Рассмотрим случаи для \( x \) и \( y \):
  • Если \( x \) истинно и \( y \) истинно, то \( x \ве (x \wedge y) \) будет истинно.
  • Если \( x \) истинно и \( y \) ложно, то \( x \ве (x \wedge y) \) будет истинно.
  • Если \( x \) ложно и \( y \) истинно, то \( x \ве (x \wedge y) \) будет ложным.
  • Если \( x \) ложно и \( y \) ложно, то \( x \ве (x \wedge y) \) будет ложным.

Эта формула является тождественно истинной.

4) \( (x \wedge y) \ве (x \wedge \нег y) \)

Для формулы \( (x \wedge y) \ве (x \wedge \нег y) \):

• Рассмотрим случаи для \( x \) и \( y \):
  • Если \( x \) истинно и \( y \) истинно, то \( (x \wedge y) \) истинно и \( (x \wedge \нег y) \) будет ложным, значит формула будет истинной.
  • Если \( x \) истинно и \( y \) ложно, то \( (x \wedge y) \) будет ложным и \( (x \wedge \нег y) \) будет истинно, значит формула будет истинной.
  • Если \( x \) ложно и \( y \) истинно, то \( (x \wedge y) \) будет ложным и \( (x \wedge \нег y) \) будет ложным, значит формула будет ложным.
  • Если \( x \) ложно и \( y \) ложно, то \( (x \wedge y) \) будет ложным и \( (x \wedge \нег y) \) будет ложным, значит формула будет ложным.

Эта формула является тождественно истинной.

Вот и всё! Если что-то останется непонятным, обязательно спрашивай!