Стадион имеет беговые дорожки, представляющие собой окружности, радиусы которых R1 и R2, причем R1 = 2R2. Определите отношения модулей центростремительного ускорения бегущих спортсменов при равенстве: а) модулей их линейной скорости; б) их периодов

Чтобы решить задачу, рассмотрим отношения центростремительного ускорения спортсменов на окружностях. Центростремительное ускорение \( a_c \) спортсмена рассчитывается по формуле:

\[ a_c = \frac{v^2}{R} \]

где \( v \) — линейная скорость, а \( R \) — радиус окружности.

1. Когда модули линейной скорости равны (\( v_1 = v_2 \)):

Для спортсмена, который бежит по окружности с радиусом \( R_1 \): \[ a_{c1} = \frac{v^2}{R_1} \]

Для спортсмена, который бежит по окружности с радиусом \( R_2 \): \[ a_{c2} = \frac{v^2}{R_2} \]

Теперь подставим \( R_1 = 2R_2 \) в формулу для \( a_{c1} \): \[ a_{c1} = \frac{v^2}{2R_2} \] \[ a_{c2} = \frac{v^2}{R_2} \]

Теперь найдем отношение центростремительных ускорений: \[ \frac{a_{c1}}{a_{c2}} = \frac{\frac{v^2}{2R_2}}{\frac{v^2}{R_2}} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, при равенстве модулей линейной скорости отношение модулей центростремительного ускорения спортсменов составляет \( 1:2 \).

2. Когда равны периоды кругового движения (\( T_1 = T_2 \)):

Период \( T \) связан с линейной скоростью и радиусом окружности: \[ v = \frac{2\pi R}{T} \]

Так как \( T_1 = T_2 \), мы можем записать: \[ v_1 = \frac{2\pi R_1}{T} \] \[ v_2 = \frac{2\pi R_2}{T} \]

Следовательно, соотношение центростремительного ускорения будет: \[ a_{c1} = \frac{v_1^2}{R_1} = \frac{\left(\frac{2\pi R_1}{T}\right)^2}{R_1} = \frac{4\pi^2 R_1}{T^2} \] \[ a_{c2} = \frac{v_2^2}{R_2} = \frac{\left(\frac{2\pi R_2}{T}\right)^2}{R_2} = \frac{4\pi^2 R_2}{T^2} \]

Теперь найдем отношение: \[ \frac{a_{c1}}{a_{c2}} = \frac{4\pi^2 R_1 / T^2}{4\pi^2 R_2 / T^2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{2R_2}{R_2} = 2 \]

В итоге, при равенстве периодов центростремительное ускорение спортсменов будет в отношении \( 2:1 \).

Таким образом, ответы: a) Отношение модулей центростремительного ускорения при равенстве линейной скорости составляет \( 1:2 \). b) Отношение модулей центростремительного ускорения при равенстве периодов составляет \( 2:1 \).