(2-3x)×(3x+2)×(5+3x)×(2x-3)>0
Давайте рассмотрим неравенство \((2 - 3x) \times (3x + 2) \times (5 + 3x) \times (2x - 3) > 0\).
Для решения данного неравенства нам нужно найти нули каждого из множителей и определить знаки произведения на промежутках, определяемых этими нулями.
- Находим нули каждого множителя:
- \(2 - 3x = 0 \implies x = \frac{2}{3}\)
- \(3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}\)
- \(5 + 3x = 0 \implies x = -\frac{5}{3}\)
- \(2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}\)
Теперь у нас есть критические точки: \(-\frac{5}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}\).
Распределяем промышленные промежутки: Эти точки делят числовую прямую на следующие промежутки:
- \((-∞, -\frac{5}{3})\)
- \((- \frac{5}{3}, -\frac{2}{3})\)
- \((- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})\)
- \((\frac{2}{3}, \frac{3}{2})\)
- \((\frac{3}{2}, +\infty)\)
Определяем знак произведения на каждом промежутке: Для этого подбираем тестовые точки из каждого интервала:
- Для \((-∞, -\frac{5}{3})\), например, \(x = -2\): \((2 - 3(-2))(3(-2) + 2)(5 + 3(-2))(2(-2) - 3) > 0\) – положительный;
- Для \((- \frac{5}{3}, -\frac{2}{3})\), например, \(x = -1\): \((2 - 3(-1))(3(-1) + 2)(5 + 3(-1))(2(-1) - 3) < 0\) – отрицательный;
- Для \((- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})\), например, \(x = 0\): \((2 - 3(0))(3(0) + 2)(5 + 3(0))(2(0) - 3) < 0\) – отрицательный;
- Для \((\frac{2}{3}, \frac{3}{2})\), например, \(x = 1\): \((2 - 3(1))(3(1) + 2)(5 + 3(1))(2(1) - 3) > 0\) – положительный;
- Для \((\frac{3}{2}, +∞)\), например, \(x = 2\): \((2 - 3(2))(3(2) + 2)(5 + 3(2))(2(2) - 3) > 0\) – положительный.
Собираем решения: Мы ищем значения \(x\), при которых произведение больше нуля. Это происходит на интервалах:
- \((-∞, -\frac{5}{3})\)
- \((\frac{2}{3}, \frac{3}{2})\)
- \((\frac{3}{2}, +\infty)\)
Таким образом, решением данного неравенства являются интервал: \[ x \in (-\infty, -\frac{5}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
