(2x+1)×(1-2x)×(x-1)×(2-3x)>0
Чтобы решить неравенство \((2x+1) \times (1-2x) \times (x-1) \times (2-3x) > 0\), начнем с нахождения нулевых точек каждого множителя:
- \(2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\)
- \(1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)
- \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
- \(2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\)
Теперь у нас есть нулевые точки: \(x = -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, \frac{2}{3}\). Эти точки разделяют числовую прямую на интервалы, в которых знаки произведения могут меняться. Выделим интервалы:
- \((-\infty, -\frac{1}{2})\)
- \((- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\)
- \((\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\)
- \((\frac{2}{3}, 1)\)
- \((1, +\infty)\)
Теперь для каждого интервала проверим знак выражения. Мы можем подставить значения из каждого интервала:
Для интервала \((-\infty, -\frac{1}{2})\), например, \(x = -1\): \((2(-1)+1)(1-2(-1))(-1-1)(2-3(-1)) = (-1)(3)(-2)(5) > 0\)
Для интервала \((- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\), например, \(x = 0\): \((2(0)+1)(1-2(0))(0-1)(2-3(0)) = (1)(1)(-1)(2) < 0\)
Для интервала \((\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\), например, \(x = \frac{5}{12}\): \((2(\frac{5}{12})+1)(1-2(\frac{5}{12}))(\frac{5}{12}-1)(2-3(\frac{5}{12}))\) (посчитаем отдельно): \((\frac{10}{12}+1)(1-\frac{10}{12})(\frac{-7}{12})(\frac{14}{12}-\frac{15}{12})\), знаки соответственно: \((+)(+)(-)(-)\) что в итоге даст \(>\) ноль.
Для интервала \((\frac{2}{3}, 1)\), например, \(x = \frac{3}{4}\): \((2(\frac{3}{4})+1)(1-2(\frac{3}{4}))(\frac{3}{4}-1)(2-3(\frac{3}{4}))\) (посчитав, получим): \((\frac{3}{2}+1)(1-\frac{3}{2})(\frac{-1}{4})(\frac{5}{4})\), что также даст \( < 0\).
Для интервала \((1, +\infty)\), например, \(x = 2\): \((2(2)+1)(1-2(2))(2-1)(2-3(2)) = (5)(-3)(1)(-4) > 0\)
Таким образом, принимая во внимание знаки на каждом интервале, у нас получаются положительные значения в интервалах:
- \((-\infty, -\frac{1}{2})\)
- \((\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\)
- \((1, +\infty)\)
Следовательно, решением неравенства будет:
\[ x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{2}{3}) \cup (1, +\infty) \]
