(2x+1)×(1-2x)×(x-1)×(2-3x)>0

Question 1

Задача Задача №1483618

А

Аноним

12 сентября 2024 14:30 · публичный вопрос

А

Аноним 12 сентября 2024 14:30

(2x+1)×(1-2x)×(x-1)×(2-3x)>0

Answer

Чтобы решить неравенство \((2x+1) \times (1-2x) \times (x-1) \times (2-3x) > 0\), давайте рассмотрим каждый множитель отдельно и найдем точки, где произведение равно нулю.

Нахождение корней:
- \(2x + 1 = 0\) ⇒ \(x = -\frac{1}{2}\)
- \(1 - 2x = 0\) ⇒ \(x = \frac{1}{2}\)
- \(x - 1 = 0\) ⇒ \(x = 1\)
- \(2 - 3x = 0\) ⇒ \(x = \frac{2}{3}\)

Итак, наши ключевые точки: \(x = -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, \frac{2}{3}\).

Определение знаков: Теперь мы будем исследовать знак выражения на интервалах, определяемых этими корнями. Нам необходимо проверить знаки в следующих интервалах:
- \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \)
- \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \)
- \( (\frac{1}{2}, \frac{2}{3}) \)
- \( (\frac{2}{3}, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
Тестирование интервалов: Выберем тестовую точку из каждого интервала и подставим её в произведение:
- Для \(x = -1\) из \((- \infty, -\frac{1}{2})\): \((2(-1) + 1) > 0\), \((1 - 2(-1)) > 0\), \((-1 - 1) < 0\), \((2 - 3(-1)) > 0\) ⇒ \( положительное \times положительное \times отрицательное \times положительное < 0\)
- Для \(x = 0\) из \((- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\): \((2(0) + 1) > 0\), \((1 - 2(0)) > 0\), \((0 - 1) < 0\), \((2 - 3(0)) > 0\) ⇒ \( положительное \times положительное \times отрицательное \times положительное < 0\)
- Для \(x = 0.6\) из \((\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\): \((2(0.6) + 1) > 0\), \((1 - 2(0.6)) < 0\), \((0.6 - 1) < 0\), \((2 - 3(0.6)) > 0\) ⇒ \( положительное \times отрицательное \times отрицательное \times положительное > 0\)
- Для \(x = 0.8\) из \((\frac{2}{3}, 1)\): \((2(0.8) + 1) > 0\), \((1 - 2(0.8)) < 0\), \((0.8 - 1) < 0\), \((2 - 3(0.8)) < 0\) ⇒ \( положительное \times отрицательное \times отрицательное \times отрицательное < 0\)
- Для \(x = 2\) из \((1, +\infty)\): \(2(2) + 1 > 0\), \(1 - 2(2) < 0\), \(2 - 1 > 0\), \(2 - 3(2) < 0\) ⇒ \( положительное \times отрицательное \times положительное \times отрицательное > 0\)
Заключение: Итак, выражение \((2x + 1)(1 - 2x)(x - 1)(2 - 3x) > 0\) выполняется на интервалах:

\((\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\)
\((1, +\infty)\)

Поэтому решение данного неравенства: \[ \boxed{( \frac{1}{2}, \frac{2}{3} ) \cup (1, +\infty)} \]

Question 2

(2x+1)×(1-2x)×(x-1)×(2-3x)>0

Answer

Чтобы решить неравенство \((2x+1) \times (1-2x) \times (x-1) \times (2-3x) > 0\), давайте рассмотрим каждый множитель отдельно и найдем точки, где произведение равно нулю. 1. **Нахождение корней**: - \(2x + 1 = 0\) ⇒ \(x = -\frac{1}{2}\) - \(1 - 2x = 0\) ⇒ \(x = \frac{1}{2}\) - \(x - 1 = 0\) ⇒ \(x = 1\) - \(2 - 3x = 0\) ⇒ \(x = \frac{2}{3}\) Итак, наши ключевые точки: \(x = -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, \frac{2}{3}\). 2. **Определение знаков**: Теперь мы будем исследовать знак выражения на интервалах, определяемых этими корнями. Нам необходимо проверить знаки в следующих интервалах: - \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) - \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \) - \( (\frac{1}{2}, \frac{2}{3}) \) - \( (\frac{2}{3}, 1) \) - \( (1, +\infty) \) 3. **Тестирование интервалов**: Выберем тестовую точку из каждого интервала и подставим её в произведение: - Для \(x = -1\) из \((- \infty, -\frac{1}{2})\): \((2(-1) + 1) > 0\), \((1 - 2(-1)) > 0\), \((-1 - 1) < 0\), \((2 - 3(-1)) > 0\) ⇒ \( положительное \times положительное \times отрицательное \times положительное < 0\) - Для \(x = 0\) из \((- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\): \((2(0) + 1) > 0\), \((1 - 2(0)) > 0\), \((0 - 1) < 0\), \((2 - 3(0)) > 0\) ⇒ \( положительное \times положительное \times отрицательное \times положительное < 0\) - Для \(x = 0.6\) из \((\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\): \((2(0.6) + 1) > 0\), \((1 - 2(0.6)) < 0\), \((0.6 - 1) < 0\), \((2 - 3(0.6)) > 0\) ⇒ \( положительное \times отрицательное \times отрицательное \times положительное > 0\) - Для \(x = 0.8\) из \((\frac{2}{3}, 1)\): \((2(0.8) + 1) > 0\), \((1 - 2(0.8)) < 0\), \((0.8 - 1) < 0\), \((2 - 3(0.8)) < 0\) ⇒ \( положительное \times отрицательное \times отрицательное \times отрицательное < 0\) - Для \(x = 2\) из \((1, +\infty)\): \(2(2) + 1 > 0\), \(1 - 2(2) < 0\), \(2 - 1 > 0\), \(2 - 3(2) < 0\) ⇒ \( положительное \times отрицательное \times положительное \times отрицательное > 0\) 4. **Заключение**: Итак, выражение \((2x + 1)(1 - 2x)(x - 1)(2 - 3x) > 0\) выполняется на интервалах: - \((\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) - \((1, +\infty)\) Поэтому решение данного неравенства: \[ \boxed{( \frac{1}{2}, \frac{2}{3} ) \cup (1, +\infty)} \]