Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнюе 72°, а бісектриса кута при основі цього ж трикутника - 7 см. Знайдіть основу трикутника.
В рівнобедреному трикутнику, якщо кут при основі дорівнює 72°, то кути при вершині дорівнюють 36° (оскільки сума всіх кутів трикутника дорівнює 180°).
Позначимо основу трикутника як \(AB\) та бісектрису кута при основі як \(AC\), яка розділяє основу \(AB\) на дві рівні частини. Позначимо точку перетину бісектрисі з основою як \(D\).
Отже, \(AD = DB = \frac{AB}{2}\).
В трикутнику \(ACD\) ми можемо використовувати строку з бісектрисою, яка надає наступну інформацію:
- Кут \(CAD = 36^\circ\)
- Кут \(ACD = 90^\circ\) (оскільки бісектриса перетинає основу під прямим кутом)
- \(AC = 7\) см (довжина бісектриси).
Тепер можемо використати тригонометричні співвідношення. Знайдемо \(AD\): \[ \tan(36^\circ) = \frac{CD}{AD} \] Якщо позначити \(CD = h\) (висота), то: \[ h = AD \cdot \tan(36^\circ) \]
Висота \(h\) може бути також виражена через довжину бісектриси: \[ h = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{7^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} \]
Таким чином, ми маємо два вирази для \(h\):
- \(h = AD \cdot \tan(36^\circ)\)
- \(h = \sqrt{49 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2}\)
Розв’яжемо ці рівняння.
Виразимо \(AD\) з першого рівняння: \[ AD = \frac{h}{\tan(36^\circ)} \]
Підставимо в друге рівняння: \[ h = \sqrt{49 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} \] Тоді: \[ \sqrt{49 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \frac{h}{\tan(36^\circ)} \]
Нам потрібно буде знайти \(AB\), тому ми поєднаємо ці два рівняння.
Оскільки \(h\) відомий: \[ AD = \frac{7}{\tan(36^\circ)} \]
Визначивши \(AD\), двічі помножимо на 2, щоб знайти основу: \[ AB = 2 \cdot AD = 2 \cdot \frac{7}{\tan(36^\circ)} \]
Обчислити \(\tan(36^\circ)\) (близько 0.7265): \[ AB \approx 2 \cdot \frac{7}{0.7265} \approx 19.2 \text{ см} \]
Отже, довжина основи трикутника буде приблизно 19.2 см.
