Ә) гипотенузасы 13 см-ге, ал ауданы 30 см2-ге тең болатын тікбұ- рышты үшбұрыштың периметрін табыңдар.
Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 см и площадью 30 см², мы можем использовать следующие шаги.
Обозначим стороны треугольника как \( a \) и \( b \). Мы знаем следующее:
Площадь треугольника: \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times a \times b = 30 \implies a \times b = 60 \]
По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = 13^2 \implies a^2 + b^2 = 169 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( ab = 60 \)
- \( a^2 + b^2 = 169 \)
Чтобы выразить \( b \) через \( a \), мы можем использовать первое уравнение: \[ b = \frac{60}{a} \]
Теперь подставим \( b \) во второе уравнение: \[ a^2 + \left(\frac{60}{a}\right)^2 = 169 \]
Упростим это уравнение: \[ a^2 + \frac{3600}{a^2} = 169 \]
Умножим на \( a^2 \), чтобы избавиться от дроби: \[ a^4 - 169a^2 + 3600 = 0 \]
Теперь сделаем замену \( x = a^2 \). Уравнение примет вид: \[ x^2 - 169x + 3600 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-169)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3600 = 28561 - 14400 = 14161 \]
Найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{169 \pm \sqrt{14161}}{2} \] Поскольку \( \sqrt{14161} = 119 \), получаем: \[ x_{1,2} = \frac{169 \pm 119}{2} \]
Таким образом, корни: \[ x_1 = \frac{288}{2} = 144 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{50}{2} = 25 \]
Теперь вернемся к \( a^2 \):
- \( a^2 = 144 \implies a = 12 \)
- \( a^2 = 25 \implies a = 5 \)
В итоге, определим стороны:
- Если \( a = 12 \), тогда \( b = 5 \).
- Если \( a = 5 \), тогда \( b = 12 \).
Теперь можем найти периметр треугольника: \[ P = a + b + c = 12 + 5 + 13 = 30 \text{ см} \]
Таким образом, периметр данного прямоугольного треугольника равен 30 см.
