108/х+3 + 84/х-3 =8

Чтобы решить уравнение \( \frac{108}{x + 3} + \frac{84}{x - 3} = 8 \), начнем с того, чтобы привести все члены уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( (x + 3)(x - 3) \).

1. Умножим все уравнение на \( (x + 3)(x - 3) \), чтобы избавиться от дробей:

\[ 108(x - 3) + 84(x + 3) = 8(x + 3)(x - 3) \]

2. Раскроем скобки:

\[ 108x - 324 + 84x + 252 = 8(x^2 - 9) \]

3. Объединим похожие члены с левой стороны:

\[ 192x - 72 = 8x^2 - 72 \]

4. Переместим все члены на одну сторону уравнения:

\[ 8x^2 - 192x + 0 = 0 \]

5. Упрощаем уравнение:

\[ 8x^2 - 192x = 0 \]

6. Вынесем \( 8x \) за скобки:

\[ 8x(x - 24) = 0 \]

7. Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

• \( 8x = 0 \) даёт \( x = 0 \)
• \( x - 24 = 0 \) даёт \( x = 24 \)

Таким образом, у нас есть два решения: \( x = 0 \) и \( x = 24 \).

Однако нужно проверить, что решения не делают знаменатели равными нулю:

• При \( x = 0 \): \( x + 3 = 3\) и \( x - 3 = -3 \) (знаменатели не равны нулю).
• При \( x = 24 \): \( x + 3 = 27\) и \( x - 3 = 21 \) (знаменатели также не равны нулю).

Итак, окончательные решения уравнения: \( x = 0 \) и \( x = 24 \).