УДАВС відомо

Для розв'язання задачі, скористаємося властивістю бісектриси і тригонометричними співвідношеннями.

Дано:

• кут A = 45°
• AВ = 16 см
• СМ - бісектриса кута A.

Оскільки СМ - бісектриса, можна скористатися теоремою про відношення довжин відрізків, відрізаних бісектрисою:

\[ \frac{АB}{AC} = \frac{BM}{MC} \]

Але ми не знаємо значення AC. Дослідимо трикутник ABC, де A - кут, що дорівнює 45°, а B - один з двох інших кутів. Якщо позначити кут B як x, то кут C буде (180° - 45° - x) = (135° - x).

З напівбісектрисою можна також скористатися формулою для обчислення довжини бісектриси. Бісектрису можна виразити через сторони трикутника:

\[ AM = \frac{AB \cdot AC}{AB + AC} \]

Але для цього нам потрібно знати сторони AC і AM. Скористаємося також властивістю, що у нашому випадку кут A є 45°, а отже можемо підрахувати відношення сторін з тригонометричної точки зору.

Припустимо, що AC буде таким самим, як і AB, тобто AC = AB = 16 см. Тоді:

AM можна вирахувати через відомі сторони трикутника у фигурах:

\[ AM = AB \cdot \cos(\frac{A}{2}) = AB \cdot \cos(22.5°) \]

Значення cos(22.5°) можна знайти:

\[ \cos(22.5°) = \sqrt{\frac{1 + \cos(45°)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \approx 0.9239 \]

Тепер обчислимо:

\[ AM \approx 16 \cdot 0.9239 \approx 14.7824 \text{ см} \]

Таким чином, довжина AM приблизно дорівнює 14.78 см.