Найдите координаты точек пересечения графиков функций y=-4x² и y=-7x+3 без построения графиков функций.
Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций \( y = -4x^2 \) и \( y = -7x + 3 \), нужно приравнять обе функции:
\[ -4x^2 = -7x + 3 \]
Теперь приведем все члены уравнения к одной стороне:
\[ -4x^2 + 7x - 3 = 0 \]
Умножим уравнение на -1, чтобы сделать коэффициенты положительными:
\[ 4x^2 - 7x + 3 = 0 \]
Теперь решить это квадратное уравнение можно с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) рассчитывается по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 4 \), \( b = -7 \), \( c = 3 \).
Подставим значения в формулу дискриминанта:
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 \]
\[ D = 49 - 48 = 1 \]
Так как дискриминант положителен (\( D > 0 \)), у уравнения будет два различных корня. Теперь найдем корни с помощью формулы:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{7 \pm 1}{8} \]
Теперь найдем два корня:
- Первый корень:
\[ x_1 = \frac{7 + 1}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
- Второй корень:
\[ x_2 = \frac{7 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]
Теперь нам нужно найти соответствующие значения \( y \) для этих \( x \). Подставим корни в одну из функций, например, в \( y = -4x^2 \).
Для \( x_1 = 1 \):
\[ y_1 = -4(1)^2 = -4 \]
Для \( x_2 = \frac{3}{4} \):
\[ y_2 = -4\left(\frac{3}{4}\right)^2 = -4 \cdot \frac{9}{16} = -\frac{36}{16} = -\frac{9}{4} \]
Таким образом, координаты точек пересечения графиков функций:
- \( (1, -4) \)
- \( \left(\frac{3}{4}, -\frac{9}{4}\right) \)
