В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна 1,2 см. Найдите площадь треугольника, если синус одного из острых углов этого треугольника равен 2/3 геометрия 9 класс

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна \(1,2\) см. Мы знаем, что медиана \(m_c\) к гипотенузе \(c\) в прямоугольном треугольнике может быть найдена по формуле:

\[ m_c = \frac{1}{2} c \]

Где \(c\) — длина гипотенузы. Подставим значение медианы:

\[ 1,2 = \frac{1}{2} c \]

Для нахождения \(c\) умножим обе стороны на \(2\):

\[ c = 2 \times 1,2 = 2,4 \text{ см} \]

Теперь, зная гипотенузу, мы можем использовать информацию о синусе одного из острых углов. Пусть угол \(A\) — это угол, синус которого равен \(\sin A = \frac{2}{3}\).

В прямоугольном треугольнике со сторонами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) площадь \(S\) может быть найдена как:

\[ S = \frac{1}{2} ab \]

С учётом того, что \(\sin A = \frac{a}{c}\), можно выразить сторону \(a\):

\[ a = c \cdot \sin A = 2,4 \cdot \frac{2}{3} = 1,6 \text{ см} \]

Теперь, используя теорему Пифагора \(c^2 = a^2 + b^2\), найдём сторону \(b\):

\[ (2,4)^2 = (1,6)^2 + b^2 \]

Вычислим значения:

\[ 5,76 = 2,56 + b^2 \]

Отсюда:

\[ b^2 = 5,76 - 2,56 = 3,2 \]

Корень из этого даст:

\[ b = \sqrt{3,2} \approx 1,79 \text{ см} \]

Теперь можем вычислить площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 1,6 \cdot 1,79 \approx \frac{1,6 \cdot 1,79}{2} \approx 1,43 \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника приблизительно равна \(1,43\) см².