Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?

Чтобы определить количество сторон выпуклого многоугольника с заданными углами, можно использовать формулу для суммы внутренних углов многоугольника:

\[ S = (n - 2) \times 180° \]

где \( S \) — сумма внутренних углов, а \( n \) — количество сторон.

Также можно использовать формулу для нахождения одного угла многоугольника:

\[ \text{угол} = \frac{S}{n} \]

Где \( \text{угол} \) — величина одного внутреннего угла.

Теперь найдем количество сторон для каждого из случаев.

а) Если угол равен 90°:

\[ 90° = \frac{(n - 2) \times 180°}{n} \]

Умножим обе стороны на \( n \):

\[ 90n = (n - 2) \times 180 \]

Решим уравнение:

\[ 90n = 180n - 360 \]

\[ 90n - 180n = -360 \]

\[ -90n = -360 \]

\[ n = 4 \]

Таким образом, выпуклый многоугольник с углом 90° имеет 4 стороны (квадрат).

б) Если угол равен 60°:

\[ 60° = \frac{(n - 2) \times 180°}{n} \]

Умножаем:

\[ 60n = (n - 2) \times 180 \]

Решаем:

\[ 60n = 180n - 360 \]

\[ 60n - 180n = -360 \]

\[ -120n = -360 \]

\[ n = 3 \]

Значит, выпуклый многоугольник с углом 60° имеет 3 стороны (равносторонний треугольник).

в) Если угол равен 120°:

\[ 120° = \frac{(n - 2) \times 180°}{n} \]

Умножаем:

\[ 120n = (n - 2) \times 180 \]

Решаем:

\[ 120n = 180n - 360 \]

\[ 120n - 180n = -360 \]

\[ -60n = -360 \]

\[ n = 6 \]

Таким образом, выпуклый многоугольник с углом 120° имеет 6 сторон (шестиугольник).

г) Если угол равен 108°:

\[ 108° = \frac{(n - 2) \times 180°}{n} \]

Умножаем:

\[ 108n = (n - 2) \times 180 \]

Решаем:

\[ 108n = 180n - 360 \]

\[ 108n - 180n = -360 \]

\[ -72n = -360 \]

\[ n = 5 \]

Таким образом, выпуклый многоугольник с углом 108° имеет 5 сторон (пятиугольник).

Резюме: а) 4 стороны (квадрат) б) 3 стороны (равносторонний треугольник) в) 6 сторон (шестиугольник) г) 5 сторон (пятиугольник)