Запишите выражение в виде степени числа 2 2¹⁴ + 2¹⁴+2¹⁵+2¹⁶+2¹⁷+...+2³⁷

Чтобы преобразовать выражение \( 2^{14} + 2^{14} + 2^{15} + 2^{16} + 2^{17} + ... + 2^{37} \) в виде степени числа 2, давайте сначала упростим его.

1. Обратите внимание, что первое слагаемое \( 2^{14} \) повторяется дважды, то есть: \[ 2^{14} + 2^{14} = 2 \cdot 2^{14} = 2^{15}. \]

2. Теперь запишем все члены выражения: \[ 2^{15} + 2^{15} + 2^{16} + 2^{17} + ... + 2^{37}. \] Сложив два \( 2^{15} \), мы получим: \[ 2^{15} + 2^{15} = 2^{16}. \] Теперь у нас есть: \[ 2^{16} + 2^{16} + 2^{17} + ... + 2^{37}. \]

3. Давайте рассчитаем полное количество членов в последнем выражении. Начинаем с степени 16 и заканчиваем на степени 37, что дает нам следующие степени: \( 2^{16}, 2^{17}, \ldots, 2^{37} \). Количество слагаемых от 16 до 37 — это \( 37 - 16 + 1 = 22 \).

4. Таким образом, можно выделить \( 2^{16} \) из всех членов: \[ 2^{16} (1 + 1 + 2 + 2 + ... + 2^{21}). \] Переход от \( 2^{16} \) к \( 2^{37} \) будет 22 члена.

5. Сложим эти степени при помощи формулы суммы геометрической прогрессии.

Теперь можем выразить всю сумму: \[ 2^{15} + 2^{16} + 2^{17} + ... + 2^{37} = 2^{14} \cdot (2 + 1 + 2^{2} + ... + 2^{22}). \] Используем формулу суммы геометрической прогрессии: \[ S_n = a \frac{(r^n - 1)}{r - 1}, \] где \( a = 1 \) и \( r = 2 \), и \( n = 22 \): \[ S = 1 \cdot \frac{(2^{22} - 1)}{2 - 1} = 2^{22} - 1. \]

Итак, финальное выражение можно записать как: \[ 2^{14} \cdot (2^{23} - 1) = 2^{14 + 23} = 2^{37}. \]

В результате, выражение \( 2^{14} + 2^{14} + 2^{15} + 2^{16} + 2^{17} + ... + 2^{37} \) можно записать в виде степени числа 2: \[ 2^{38} - 2^{14}. \]