F'(x)=6x²+12√x; M(4;10)
Чтобы найти значение функции \( f(x) \), зная производную \( f'(x) = 6x^2 + 12\sqrt{x} \) и точку \( M(4;10) \), необходимо выполнить интегрирование производной и затем использовать точку для нахождения константы интегрирования.
Интегрируем функцию \( f'(x) \): \[ f(x) = \int (6x^2 + 12\sqrt{x}) \, dx \] Разделим интеграл на две части: \[ f(x) = \int 6x^2 \, dx + \int 12\sqrt{x} \, dx \]
Для первого интеграла: \[ \int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 \]
Для второго интеграла, вспомним, что \( \sqrt{x} = x^{1/2} \): \[ \int 12x^{1/2} \, dx = 12 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = 12 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 8x^{3/2} \]
Объединяя результаты, получаем: \[ f(x) = 2x^3 + 8x^{3/2} + C \] где \( C \) — это произвольная константа интегрирования.
Используем точку \( M(4;10) \), чтобы найти \( C \): Подставляем \( x = 4 \) в \( f(x) \): \[ f(4) = 2(4)^3 + 8(4)^{3/2} + C \] Вычисляем \( f(4) \): \[ 2(64) + 8(8) + C = 128 + 64 + C = 192 + C \] Поскольку мы знаем, что \( f(4) = 10 \), мы можем записать уравнение: \[ 192 + C = 10 \] Отсюда: \[ C = 10 - 192 = -182 \]
Записываем окончательную форму \( f(x) \): \[ f(x) = 2x^3 + 8x^{3/2} - 182 \]
Теперь у вас есть функция \( f(x) \), которая соответствует заданной производной и проходит через указанную точку \( M(4;10) \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!
