(Московская устная олимпиада, 2012, 7.4) Назовём натуральные числа в и друзъями, если их произведение является точным квадратом. Докажите, что если а - друг b, то а - друг…

Чтобы доказать утверждение, начнем с определения, что такое "друзья" в данном контексте. Два натуральных числа \( a \) и \( b \) называются друзьями, если их произведение \( ab \) является точным квадратом, то есть есть такое натуральное число \( k \), что \( ab = k^2 \).

Теперь предположим, что \( a \) — друг \( b \). Это означает, что существует натуральное число \( k \), такое что:

\[ ab = k^2. \]

Чтобы доказать, что \( a \) является другом \( НОД(a, b) \), рассмотрим обозначения:

• Пусть \( d = НОД(a, b) \).
• Тогда по свойству делимости, существуют такие натуральные числа \( m \) и \( n \), что \( a = dm \) и \( b = dn \), где \( НОД(m, n) = 1 \).

Теперь подставим \( a \) и \( b \) в произведение \( ab \):

\[ ab = (dm)(dn) = d^2mn. \]

Значит, мы можем записать:

\[ ab = d^2 \cdot mn. \]

С учетом того, что \( НОД(m, n) = 1 \), произведение \( mn \) также является точным квадратом, поскольку все простые множители \( m \) и \( n \) находятся в парном количестве, если их собрать вместе.

Теперь оценим произведение:

\[ ab = d^2 \cdot mn = k^2, \]

где \( k = d \sqrt{mn} \). Поскольку \( mn \) является точным квадратом (из-за условия о \( a \) и \( b \)), следовательно, \( k \) тоже оказывается натуральным числом.

Таким образом, мы можем заключить, что если \( ab = k^2 \), то и \( a \cdot НОД(a, b) \) будет также точным квадратом, а значит \( a \) и \( НОД(a, b) \) — друзья.

Это завершает доказательство.