45х^2+91х+18 меньше 0 решить методом интервала
Чтобы решить неравенство \(45x^2 + 91x + 18 < 0\) методом интервалов, начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \(45x^2 + 91x + 18 = 0\).
Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 91^2 - 4 \cdot 45 \cdot 18 \] \[ D = 8281 - 3240 = 5041 \]
Найдет корни уравнения с помощью формулы корней: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-91 \pm \sqrt{5041}}{2 \cdot 45} \] Так как \(\sqrt{5041} = 71\), подставляем: \[ x_1 = \frac{-91 + 71}{90} = \frac{-20}{90} = -\frac{2}{9} \] \[ x_2 = \frac{-91 - 71}{90} = \frac{-162}{90} = -\frac{18}{10} = -\frac{9}{5} \]
Нанесём корни на числовую прямую: У нас есть два корня: \(x_1 = -\frac{2}{9}\) и \(x_2 = -\frac{9}{5}\). Эти точки разделяют числовую прямую на три интервала: \(-\infty\) до \(-\frac{9}{5}\), от \(-\frac{9}{5}\) до \(-\frac{2}{9}\), и от \(-\frac{2}{9}\) до \(+\infty\).
Выбор тестовых точек для каждого интервала:
- Для интервала \(-\infty\) до \(-\frac{9}{5}\) выберем \(x = -2\).
- Для интервала от \(-\frac{9}{5}\) до \(-\frac{2}{9}\) выберем \(x = -1\).
- Для интервала от \(-\frac{2}{9}\) до \(+\infty\) выберем \(x = 0\).
Подставим тестовые точки в неравенство:
- Для \(x = -2\): \[ 45(-2)^2 + 91(-2) + 18 = 180 - 182 + 18 = 16 > 0 \]
- Для \(x = -1\): \[ 45(-1)^2 + 91(-1) + 18 = 45 - 91 + 18 = -28 < 0 \]
- Для \(x = 0\): \[ 45(0)^2 + 91(0) + 18 = 18 > 0 \]
Запишем результаты:
- В интервале \((-\infty, -\frac{9}{5})\) значение положительное.
- В интервале \((- \frac{9}{5}, -\frac{2}{9})\) значение отрицательное.
- В интервале \((- \frac{2}{9}, \infty)\) значение положительное.
Таким образом, неравенство \(45x^2 + 91x + 18 < 0\) выполняется на интервале:
\[ \boxed{(-\frac{9}{5}, -\frac{2}{9})} \]
