Найдите область определения функции
Привет! Давай разберемся вместе.
Нам нужно найти область определения функции \( y = \frac{\sqrt{3x^2 - x - 14}}{2x + 5} \).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, потому что под корнем не может быть отрицательных значений. То есть, \( 3x^2 - x - 14 \geq 0 \).
Знаменатель не должен равняться нулю, так как на ноль делить нельзя. То есть, \( 2x + 5 \neq 0 \).
Теперь решим каждое условие по отдельности.
Решим неравенство \( 3x^2 - x - 14 \geq 0 \).
a. Для начала найдем корни квадратного уравнения \( 3x^2 - x - 14 = 0 \) с помощью дискриминанта.
Дискриминант равен: \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169 \).
Корни уравнения: \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{169}}{6} = \frac{1 + 13}{6} = 7/3 \) и \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{169}}{6} = \frac{1 - 13}{6} = -2 \).
b. На основании этих корней запишем промежутки, где парабола \( 3x^2 - x - 14 \) принимает неотрицательные значения.
Промежутки: \( (-\infty, -2] \cup [7/3, \infty) \).
Решим уравнение \( 2x + 5 \neq 0 \).
Найдем значение \( x \) при котором знаменатель равен нулю: \( 2x + 5 = 0 \) дает \( x = -5/2 \).
Значит \( x \neq -5/2 \).
Теперь объединим оба условия. Чтобы функция была определена, \( x \) должен принадлежать промежуткам, где обе неравенства выполняются:
\( x \in (-\infty, -2] \cup [7/3, \infty) \), исключая точку \( x = -5/2 \).
Так как \( x = -5/2 \) не попадает в промежуток \( [7/3, \infty) \), нам нужно исключить эту точку только из промежутка \( (-\infty, -2] \):
Итак, область определения функции:
\( x \in (-\infty, -2] \cup [7/3, \infty) \), \( x \neq -5/2 \).
Надеюсь, все понятно! Если остались вопросы, обязательно задавай! 😊
