исследуйте функцию на монотонность y= x^2-4x+4 если х меньше или равно двум

Давайте исследуем функцию \( y = x^2 - 4x + 4 \) на монотонность при условии, что \( x \leq 2 \).

1. Приведем функцию к более удобному виду:

   Выражение \( x^2 - 4x + 4 \) можно упростить. Заметим, что это квадратный трёхчлен, который можно записать как:

   \[ y = (x - 2)^2 \]

2. Найдем производную:

   Для исследования монотонности функции, найдем её производную:

   \[ y' = \frac{d}{dx}((x - 2)^2) = 2(x - 2) \]

3. Определим критическую точку:

   Найдем, где производная равна нулю:

   \[ 2(x - 2) = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2 \]

4. Исследуем знак производной:

   Теперь исследуем знак производной \( y' \) на интервале \( (-\infty, 2] \):

   • Если \( x < 2 \), то \( x - 2 < 0 \), следовательно, \( y' < 0 \).
   • Если \( x = 2 \), то \( y' = 0 \).

Это означает, что функция убывает на интервале \( (-\infty, 2) \) и достигает минимума в точке \( x = 2 \).

5. Подытожим:

Функция \( y = x^2 - 4x + 4 \):

• Убывает на интервале \( (-\infty, 2) \).
• Достигает минимума в точке \( x = 2 \), где значение функции равно \( y(2) = (2 - 2)^2 = 0 \).

Таким образом, при \( x \leq 2 \) функция монотонна и убывает.