От станции А по направлению к станции В отправился товарный поезд со скоростью 30 км/ч. Через 0,5 часа от станции в том же направлении вышел пассажирский поезд. С какой по модулю скоростью должен двигаться пассажирский поезд, что бы догнать товарный поезд на станции В? Расстояние между станциями составляет 45км.

Для решения задачи начнем с анализа информации.

1. Время, в течение которого товарный поезд движется до момента, когда пассажирский поезд начинает движение: \( t_1 = 0.5 \) часа.

2. Расстояние, пройденное товарным поездом за это время: \[ d = v \cdot t = 30 \, \text{км/ч} \cdot 0.5 \, \text{ч} = 15 \, \text{км}. \]

Таким образом, когда пассажирский поезд начинает движение, товарный поезд находится на расстоянии 15 км от станции A и ему остается: \[ L = 45 \, \text{км} - 15 \, \text{км} = 30 \, \text{км} \] дойти до станции В.

3. Пусть скорость пассажирского поезда равна \( v \, \text{км/ч} \). Поскольку пассажирский поезд начинает свое движение позже, он будет двигаться на 15 км меньше, чем товарный поезд, когда тот достигнет станции В.

4. Найдем время, за которое товарный поезд доходит до станции В: \[ t_2 = \frac{30 \, \text{км}}{30 \, \text{км/ч}} = 1 \, \text{ч.} \]

5. За время \( t_2 = 1 \) час, пассажирский поезд должен пройти 45 км: \[ t_3 = \frac{45 \, \text{км}}{v}. \]

6. Известно, что время, за которое пассажирский поезд должен догнать товарный, должно совпадать с временем, за которое товарный поезд дойдет до станции В: \[ t_2 = t_3, \] то есть: \[ 1 = \frac{45}{v}. \]

7. Решив это уравнение относительно \( v \): \[ v = 45 \, \text{км/ч}. \]

Таким образом, чтобы догнать товарный поезд на станции В, пассажирский поезд должен двигаться со скоростью 45 км/ч.