|3x-8|+|2-4x|+|x-5|=7
Чтобы решить уравнение |3x - 8| + |2 - 4x| + |x - 5| = 7, необходимо рассмотреть разные случаи, в зависимости от того, какие выражения внутри модулей могут быть положительными или отрицательными.
- Определяем точки, где выражения равны нулю:
- 3x - 8 = 0 → x = 8/3
- 2 - 4x = 0 → x = 1/2
- x - 5 = 0 → x = 5
Итак, ключевые точки: x = 1/2, x = 8/3, x = 5. Теперь разбиваем числовую ось на интервалы, основанные на этих точках.
- Рассматриваем интервалы:
- Интервал 1: x < 1/2
- Интервал 2: 1/2 ≤ x < 8/3
- Интервал 3: 8/3 ≤ x < 5
- Интервал 4: x ≥ 5
Теперь решим уравнение на каждом из этих интервалов.
Интервал 1: x < 1/2
- |3x - 8| = 8 - 3x
- |2 - 4x| = 2 - 4x
- |x - 5| = 5 - x
Уравнение: (8 - 3x) + (2 - 4x) + (5 - x) = 7 15 - 8x = 7 8x = 8 x = 1
Однако, x = 1 не попадает в интервал x < 1/2, поэтому мы не получаем решение здесь.
Интервал 2: 1/2 ≤ x < 8/3
- |3x - 8| = 8 - 3x
- |2 - 4x| = 2 - 4x
- |x - 5| = 5 - x
Уравнение: (8 - 3x) + (2 - 4x) + (5 - x) = 7 15 - 8x = 7 8x = 8 x = 1
Решение x = 1 подходит в этот интервал.
Интервал 3: 8/3 ≤ x < 5
- |3x - 8| = 3x - 8
- |2 - 4x| = 2 - 4x
- |x - 5| = 5 - x
Уравнение: (3x - 8) + (2 - 4x) + (5 - x) = 7 3x - 4x - x - 8 + 2 + 5 = 7 -2x - 1 = 7 -2x = 8 x = -4
Однако, x = -4 не попадает в интервал 8/3 ≤ x < 5, поэтому здесь тоже нет решения.
Интервал 4: x ≥ 5
- |3x - 8| = 3x - 8
- |2 - 4x| = 4x - 2
- |x - 5| = x - 5
Уравнение: (3x - 8) + (4x - 2) + (x - 5) = 7 3x + 4x + x - 8 - 2 - 5 = 7 8x - 15 = 7 8x = 22 x = 22/8 = 11/4
x = 11/4 ≈ 2.75, но это значение не попадает в интервал x ≥ 5, так что у нас нет решения и здесь.
Подводя итог: Решением уравнения |3x - 8| + |2 - 4x| + |x - 5| = 7 является x = 1, которое попадает в интервал 1/2 ≤ x < 8/3.
