В кубе ABCDA,B,C,D1 точка М лежит на ребре АА,, причём AM : MA1 = 3:1, а точка N — середина ребра ВС. Вычислите косинус угла между прямыми: MN и A,C.
Для решения задачи определим координаты точек куба ABCDA1B1C1D1:
Пусть длина ребра куба равняется \( a \). Тогда координаты точек будут следующими:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( A1(0, 0, a) \)
- \( B1(a, 0, a) \)
- \( C1(a, a, a) \)
- \( D1(0, a, a) \)
Пункт М лежит на ребре AA1, а соотношение \( AM:MA1 = 3:1 \) говорит о том, что точка M делит отрезок AA1 в соотношении 3 к 1.
Находим координаты точки М:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( A1(0, 0, a) \)
Координаты точки М можно найти по формуле деления отрезка в указанной пропорции: \[ M = \left( \frac{3 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2}{3 + 1}, \frac{3 \cdot y_1 + 1 \cdot y_2}{3 + 1}, \frac{3 \cdot z_1 + 1 \cdot z_2}{3 + 1} \right) \] где \( (x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0) \) и \( (x_2, y_2, z_2) = (0, 0, a) \).
Таким образом: \[ M = \left( 0, 0, \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot a}{4} \right) = \left( 0, 0, \frac{a}{4} \right) \]
Теперь найдем координаты точки N, которая является серединой ребра BC:
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
Координаты точки N определяются как: \[ N = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) = \left( \frac{a + a}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( a, \frac{a}{2}, 0 \right) \]
Теперь находим векторы MN и AC:
- Вектор \( MN = N - M = \left( a - 0, \frac{a}{2} - 0, 0 - \frac{a}{4} \right) = \left( a, \frac{a}{2}, -\frac{a}{4} \right) \)
- Вектор \( AC = C - A = \left( a - 0, a - 0, 0 - 0 \right) = \left( a, a, 0 \right) \)
Теперь для нахождения косинуса угла между векторами MN и AC используем формулу: \[ \cos \theta = \frac{MN \cdot AC}{|MN| |AC|} \] где \( MN \cdot AC \) — скалярное произведение векторов, а \( |MN| \) и \( |AC| \) — их длины.
Сначала вычислим скалярное произведение: \[ MN \cdot AC = a \cdot a + \frac{a}{2} \cdot a + \left(-\frac{a}{4}\right) \cdot 0 = a^2 + \frac{a^2}{2} + 0 = a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{2a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2} \]
Следующим шагом вычислим длины векторов: \[ |MN| = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{4}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{16}} = \sqrt{a^2 \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}\right)} = a \sqrt{\frac{16 + 4 + 1}{16}} = a \sqrt{\frac{21}{16}} = a \cdot \frac{\sqrt{21}}{4} \] \[ |AC| = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a \sqrt{2} \]
Теперь подставляем все в формулу для косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{\frac{3a^2}{2}}{\left( a \cdot \frac{\sqrt{21}}{4} \right) \cdot (a \sqrt{2})} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{\frac{a^2 \sqrt{42}}{4}} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot \sqrt{42}} = \frac{6}{\sqrt{42}} = \frac{6 \sqrt{42}}{42} = \frac{\sqrt{42}}{7} \]
Таким образом, косинус угла между прямыми MN и AC равен: \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{42}}{7} \]
