Реши графически систему уравнений x+4y=3 2x-y=3
Чтобы решить систему уравнений графически, давайте сначала преобразуем оба уравнения в вид, удобный для построения графиков.
Первое уравнение: \( x + 4y = 3 \)
Из него выразим \( y \): \[ 4y = 3 - x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{3 - x}{4} \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4} \] Это уравнение — прямая с угловым коэффициентом \(-\frac{1}{4}\) и пересечением с осью \(y\) в точке \(\left(0, \frac{3}{4}\right)\).
Второе уравнение: \( 2x - y = 3 \)
Выразим из него \( y \): \[ -y = 3 - 2x \quad \Rightarrow \quad y = 2x - 3 \] Это уравнение — прямая с угловым коэффициентом \(2\) и пересечением с осью \(y\) в точке \((0, -3)\).
Теперь мы можем построить графики обеих линий на одной координатной плоскости.
Для первого уравнения \( y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4} \):
- Когда \( x = 0 \), \( y = \frac{3}{4} \).
- Когда \( x = 4 \), \( y = 0 \).
Для второго уравнения \( y = 2x - 3 \):
- Когда \( x = 0 \), \( y = -3 \).
- Когда \( x = 3 \), \( y = 3 \).
Теперь обозначим найденные точки и нарисуем линии, соединяющие их:
- Для первого уравнения: точки (0, 0.75) и (4, 0).
- Для второго уравнения: точки (0, -3) и (3, 3).
На графике линии будут пересекаться в некоторой точке. Чтобы найти координаты этой точки пересечения, можно приравнять оба уравнения:
\[ -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4} = 2x - 3 \]
Умножим все уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:
\[ -x + 3 = 8x - 12 \] \[ 3 + 12 = 8x + x \] \[ 15 = 9x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \]
Теперь подставим \( x = \frac{5}{3} \) в одно из уравнений для нахождения \( y \):
Возьмём первое уравнение: \[ y = -\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{3} + \frac{3}{4} = -\frac{5}{12} + \frac{9}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
Таким образом, точка пересечения двух прямых, а значит решение системы уравнений, будет: \[ \left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right) \]
Если у вас остались вопросы по этой теме или возникли трудности с другими задачами, пожалуйста, обращайтесь!
